欧几里德算法中的Fibonacci序列

     首先，相信大家都已熟知欧几里德算法，此处不再赘述，只列算法如下：

gcd(a,b) { if(a < b) swap(a,b) while(b != 0) { r = a mod b a = b b = r } return a }

    忽略第三行和第四行，该算法仍能正确的求出a和b最大公因数，包括这两行只是为了简化对算法效率的分析。

    接着，让我们给出对该算法效率的分析，我们取while循环里的模运算为基本操作，可以证明：如果0到m（m>=8）之间不同时为0的一对整数作为欧几里德算法的输入，那么最多需要执行log_3/2 (2m/3)次模运算。其时间效率为θ(log_3/2 (2m/3))，与输入规模成线性关系（输入规模为表示m所用的位，即lgm+1）。

 

    上边的效率是怎么求出来的呢？首先让我们引入以下定理：当一对数a、b（a>b）作为欧几里德算法的输入时，需要执行n（n>=1）次模运算，那么a>=f_n+2 ，且b>=f_n+1 ，其中{f_n }代表Fibonacci序列。然后我们简单证明欧几里德算法的时间效率为θ(log_3/2 (2m/3))：由以上给定定理，可得f_n+2 <=a<=m；又由m>=8知n>=4，故n+2>=6；因为当n>=6时，(3/2)^n-1 <=f_n （使用数学归纳法可证明，此处略去不证），故有(3/2)ⁿ⁺¹ 3/2 m-1= log_3/2 (2m/3)。证毕。

    现在回过来看定理“当一对数a、b（a>b）作为欧几里德算法的输入时，需要执行n（n>=1）次模运算，那么a>=f_n+2 ，且b>=f_n+1 ，其中{f_n }代表Fibonacci序列”。该定理同样可用数学归纳法证明，此处不进行证明。也许你会疑问，为什么这里会涉及到Fibonacci序列？

 

    为了解开疑问，让我们来观察欧几里德算法，该算法依赖于如下事实：如果a是一个非负整数，b是一个正整数，r=a mod b，那么gcd(a,b)=gcd(b,r)。其基本思路就是通过取模运算不断使用更小的b和r来代替a和b，即使a和b不断减小。假设a>b，则a=bq+r，其中q>=1，0<=r

 

    明白了欧几里德算法的基本思想，让我们来考虑该算法的最坏情况，即何时会使上述a、b的减小最少？对，就是当q=1时，此时每次模运算减小规模最少。现在设想每次取模时q都等于1，会怎样呢？对，我们会得到一个Fibonacci序列。如，把13和8作为欧几里德算法的输入，则模运算前和各次模运算后得到的数对如下：（13，8）、（8，5）、（5，3）、（3，2）、（2，1）、（1，0）。把每两个紧挨的数对中重复的元素和0元素去掉，则正好得到Fibonacci序列从第二项开始的部分。也就是说，当欧几里德算法的输入是Fibonacci序列中连续的两项时，算法执行时间是同等规模下的最坏情况执行时间。现在揭开我们前边的疑问：为什么定理“当一对数a、b（a>b）作为欧几里德算法的输入时，需要执行n（n>=1）次模运算，那么a>=f_n+2 ，且b>=f_n+1 ，其中{f_n }代表Fibonacci序列”中会出现a>=f_n+2 、b>=f_n+1 ？因为Fibonacci序列让欧几里德算法运行的如此之慢，以至于任何其他需要相等次模运算的情况，都可以处理规模更大的数对。

    相信现在大家已经对欧几里德算法中的Fibonacci序列有了足够认识，它是欧几里德算法最坏情况的输入。