AdaBoost算法（AdbBoost Algorithm）—有监督学习方法、非概率模型、判别模型、非线性模型、非参数化模型、批量学习

定义

输入:训练数据集$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_N,y_N)\}$,其中，$x_i\in \chi \subseteq R^n,y_i\in \mathtt{y}=\{-1,+1\}$;弱学习算法;

输出:最终分类器$G(x)。$

(1)初始化训练数据的权值分布
$$D_1=({\omega }_{11},\cdots ,{\omega }_{1i},\cdots ,{\omega }_{1N}),{\omega }_{1i}=\frac{1}{N},i=1,2,\cdots ,N$$
(2)对$m=1,2,\cdots ,M$
      
(a)使用具有权值分布$D_m$的训练数据集学习，得到基本分类器
$$G_m(x):\chi \to \{-1,+1\}$$
      
(b)计算$G_m(x)$在训练数据集上的分类误差率
$$e_m=\sum _{i=1}^{N}P(G_m(x_i)\ne y_i)=\sum _{i=1}^N{\omega }_{mi}I(G_m(x_i)\ne y_i)$$
      
©计算$G_m(x)$的系数
$${\alpha }_m=\frac{1}{2}log\frac{1-e_m}{e_m},此处的对数是自然对数$$
      
(d)更新训练数据集的权值分布
$$D_{m+1}=({\omega }_{m+1,1},\cdots ,{\omega }_{m+1,i},\cdots ,{\omega }_{m+1,N})$$
$${\omega }_{m+1,i}=\frac{{\omega }_{mi}}{Z_m}exp(-{\alpha }_m{y}_i{G}_m(x_i)),i=1,2,\cdots ,N$$
$$其中Z_m是规范化因子,Z_m=\sum _{i=1}^N{\omega }_{mi}exp(-{\alpha }_m{y}_i{G}_m(x_i)),它使D_{m+1}成为一个概率分布$$
(3)构建基本分类器的线性组合
$$f(x)=\sum _{m=1}^M{\alpha }_m{G}_m(x)$$
      得到最终分类器
$$G(x)=sign(f(x))=sign(\sum _{m=1}^M{\alpha }_m{G}_m(x))$$

输入空间

T=$\left\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_N,y_N)\right\}$

import time
import numpy as np

def loadData(fileName):
    '''
    加载Mnist数据集 下载地址：https://download.csdn.net/download/nanxiaotao/89720991）
    :param fileName:要加载的文件路径
    :return: 数据集和标签集
    '''
    #存放数据及标记
    dataArr = []; labelArr = []
    #读取文件
    fr = open(fileName)
    #遍历文件中的每一行
    for line in fr.readlines():
        curLine = line.strip().split(',')
        dataArr.append([int(int(num) > 128) for num in curLine[1:]])
        if int(curLine[0]) == 0:
            labelArr.append(1)
        else:
            labelArr.append(-1)
    #返回数据集和标记
    return dataArr, labelArr

trainDataList, trainLabelList = loadData('../Mnist/mnist_train.csv')

np.shape(trainDataList)

特征空间（Feature Space）

trainDataList[0][0:784]

统计学习方法

模型

$$G(x)=sign(f(x))=sign(\sum _{m=1}^M{\alpha }_m{G}_m(x))$$

策略

$${\omega }_{m+1,i}=\frac{{\omega }_{mi}}{Z_m}exp(-{\alpha }_m{y}_i{G}_m(x_i)),i=1,2,\cdots ,N$$
$$({\alpha }_m,G_m(x))=arg\ast \underset{\alpha ,G}{\min }\sum _{i=1}^{N}exp[-y_i(f_{m-1}(x_i)+\alpha G(x_i))],其中f(x)=\sum _{m=1}^M{\alpha }_m{G}_m(x)$$

算法

trainDataList = trainDataList[:10000]
trainLabelList = trainLabelList[:10000]
treeNum = 40 #树的层数

$$e_m=\sum _{i=1}^{N}P(G_m(x_i)\ne y_i)=\sum _{i=1}^N{\omega }_{mi}I(G_m(x_i)\ne y_i)$$

def calc_e_Gx(trainDataArr, trainLabelArr, n, div, rule, D):
    '''
    计算分类错误率
    :param trainDataArr:训练数据集数字
    :param trainLabelArr: 训练标签集数组
    :param n: 要操作的特征
    :param div:划分点
    :param rule:正反例标签
    :param D:权值分布D
    :return:预测结果， 分类误差率
    '''
    #初始化分类误差率为0
    e = 0
    x = trainDataArr[:, n]
    y = trainLabelArr
    predict = []

    if rule == 'LisOne':    L = 1; H = -1
    else:                   L = -1; H = 1

    #遍历所有样本的特征m
    for i in range(trainDataArr.shape[0]):
        if x[i] < div:
            predict.append(L)
            if y[i] != L: e += D[i]
        elif x[i] >= div:
            predict.append(H)
            if y[i] != H: e += D[i]
    return np.array(predict), e

$${\alpha }_m=\frac{1}{2}log\frac{1-e_m}{e_m}$$
$${\omega }_{m+1,i}=\frac{{\omega }_{mi}}{Z_m}exp(-{\alpha }_m{y}_i{G}_m(x_i)),i=1,2,\cdots ,N$$
$$D_{m+1}=({\omega }_{m+1,1},\cdots ,{\omega }_{m+1,i},\cdots ,{\omega }_{m+1,N})$$

def createSigleBoostingTree(trainDataArr, trainLabelArr, D):
    '''
    创建单层提升树
    :param trainDataArr:训练数据集数组
    :param trainLabelArr: 训练标签集数组
    :param D: 
    :return: 创建的单层提升树
    '''

    #获得样本数目及特征数量
    m, n = np.shape(trainDataArr)

    sigleBoostTree = {}
    #误差率最高也只能100%，因此初始化为1
    sigleBoostTree['e'] = 1

    #对每一个特征进行遍历，寻找用于划分的最合适的特征
    for i in range(n):
        #因为特征已经经过二值化，只能为0和1，因此分切分时分为-0.5， 0.5， 1.5三挡进行切割
        for div in [-0.5, 0.5, 1.5]:
            for rule in ['LisOne', 'HisOne']:
                #按照第i个特征，以值div进行切割，进行当前设置得到的预测和分类错误率
                Gx, e = calc_e_Gx(trainDataArr, trainLabelArr, i, div, rule, D)
                #如果分类错误率e小于当前最小的e，那么将它作为最小的分类错误率保存
                if e < sigleBoostTree['e']:
                    sigleBoostTree['e'] = e
                    #同时也需要存储最优划分点、划分规则、预测结果、特征索引
                    #以便进行D更新和后续预测使用
                    sigleBoostTree['div'] = div
                    sigleBoostTree['rule'] = rule
                    sigleBoostTree['Gx'] = Gx
                    sigleBoostTree['feature'] = i
    #返回单层的提升树
    return sigleBoostTree

def createBosstingTree(trainDataList, trainLabelList, treeNum = 50):
    '''
    创建提升树
    :param trainDataList:训练数据集
    :param trainLabelList: 训练测试集
    :param treeNum: 树的层数
    :return: 提升树
    '''
    #将数据和标签转化为数组形式
    trainDataArr = np.array(trainDataList)
    trainLabelArr = np.array(trainLabelList)
    #没增加一层数后，当前最终预测结果列表
    finallpredict = [0] * len(trainLabelArr)
    #获得训练集数量以及特征个数
    m, n = np.shape(trainDataArr)
    D = [1 / m] * m
    #初始化提升树列表，每个位置为一层
    tree = []
    #循环创建提升树
    for i in range(treeNum):
        curTree = createSigleBoostingTree(trainDataArr, trainLabelArr, D)
        alpha = 1/2 * np.log((1 - curTree['e']) / curTree['e'])
        Gx = curTree['Gx']
        D = np.multiply(D, np.exp(-1 * alpha * np.multiply(trainLabelArr, Gx))) / sum(D)
        curTree['alpha'] = alpha
        tree.append(curTree)
        finallpredict += alpha * Gx
        error = sum([1 for i in range(len(trainDataList)) if np.sign(finallpredict[i]) != trainLabelArr[i]])
        finallError = error / len(trainDataList)
        if finallError == 0:    return tree
        print('iter:%d:%d, sigle error:%.4f, finall error:%.4f'%(i, treeNum, curTree['e'], finallError ))
    #返回整个提升树
    return tree

tree = createBosstingTree(trainDataList,trainLabelList,treeNum)

假设空间（Hypothesis Space）

$$\left\{f|f(x)=sign(\sum _{m=1}^M{\alpha }_m{G}_m(x))\right\}$$

输出空间

$$Y\in \{-1,1\}$$

模型评估

训练误差

testDataList, testLabelList = loadData('../Mnist/mnist_test.csv')
testDataList = testDataList[:1000]
testLabelList = testLabelList[:1000]

def predict(x, div, rule, feature):
    '''
    输出单独层预测结果
    :param x: 预测样本
    :param div: 划分点
    :param rule: 划分规则
    :param feature: 进行操作的特征
    :return:
    '''
    #依据划分规则定义小于及大于划分点的标签
    if rule == 'LisOne':    L = 1; H = -1
    else:                   L = -1; H = 1

    #判断预测结果
    if x[feature] < div: return L
    else:   return H

def model_test(testDataList, testLabelList, tree):
    '''
    测试
    :param testDataList:测试数据集
    :param testLabelList: 测试标签集
    :param tree: 提升树
    :return: 准确率
    '''
    #错误率计数值
    errorCnt = 0
    #遍历每一个测试样本
    for i in range(len(testDataList)):
        #预测结果值，初始为0
        result = 0
        #遍历每层的树
        for curTree in tree:
            #获取该层参数
            div = curTree['div']
            rule = curTree['rule']
            feature = curTree['feature']
            alpha = curTree['alpha']
            #将当前层结果加入预测中
            result += alpha * predict(testDataList[i], div, rule, feature)
        #预测结果取sign值，如果大于0 sign为1，反之为0
        if np.sign(result) != testLabelList[i]: errorCnt += 1
    #返回准确率
    return 1 - errorCnt / len(testDataList)

accuracy = model_test(testDataList[:1000], testLabelList[:1000], tree)
print('the accuracy is:%d' % (accuracy * 100), '%')

测试误差

模型选择

正则化

过拟合

泛化能力