1.1 计算域的空间离散（OpenFOAM理论笔记系列）

1.1 计算域的空间离散

导语： 如果有人问你有限体积法的精度是几阶，你也许会不假思索地回答：“二阶!” ，但是为什么是二阶呢？使用更高阶的离散格式能不能使得有限体积法的精度提升呢？

认识有限体积法，我们先从认识有限体积入手。相比有限体积这个说法，更多的人可能更熟悉“网格”这个词。在一张白纸上画几道横线，再画几道竖线，你就能得到一个最简单的网格系统。在你的第一印象里，也许有横线和竖线构成的一个小四方块就是一个网格单元，也就是我们说的一个有限体积（即控制体，之后均采用控制体一词）。然而事实并非如此。

• 图1.1 一个二维网格系统¹
  

图1.1是一个典型的二维网格系统，与你自己刚刚在白纸上手画的几横几竖的网格系统非常像。在这里，一个控制体并不是横线与竖线围成的一个小方块，而是以一个节点为中心，拥有特定长度和宽度的小方块。图中P点是一个控制体的中心点，其宽度为△x，高度为△y，四面分别为w、e、s、n，其相邻网格的节点为W、E、S、N。在这里W、E、S、N和其小写字母分别对应着东西南北的英文单词首字母。有时候，为了统一描述，我们也会用大写字母N（即邻居，Neighbor）表示一个控制体周围的其他控制体，这样的表示方法在CFD教材中是通用的。一般而言，控制体的形状不一定非要是正方形（对应于三维中的正六面体），只要满足控制体之间彼此不重叠，充满整个计算区域的条件即可。图1.2²是一个典型的三维控制体，其具有复杂的几何形状。

• 图1.2 一个三维控制体²
  

在有限体积法中，所有物理量存储在控制体中心点P上，所谓中心点，即满足以下关系的点：
$${\int }_{V_P}(x-x_P)dV=0\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
式(1.1)定义了中心点的位置，该式看似简单，却是有限体积法二阶精度的一个重要体现。对于任何一个物理量$\varphi$，其在控制体内的值可以由中心点P点的值进行泰勒展开得到：
$$\varphi (x)={\varphi }_P+(x-x_P)\cdot (\nabla \varphi {)}_P+\frac{1}{2}(x-x_P{)}^2::(\nabla \nabla \varphi {)}_P+\frac{1}{3!}(x-x_P{)}^3:::(\nabla \nabla \nabla \varphi {)}_P+\cdots \text{\hspace{1em}(1.2)}$$
式(1.2)中$\underset{n}{:::}$表示两个n阶张量的内积，其结果是一个标量。有限体积法是二阶精度是指我们在对$\varphi$计算时仅保留前两项，后面的所有项均忽略。在一个控制体内，对$\varphi$积分有：
$$\begin{gathered} {\int }_{V_P}\varphi (x)dV=\int {\varphi }_P+(x-x_P)\cdot (\nabla \varphi {)}_{P}dV \\ =\int {\varphi }_{P}dV+\int (x-x_P)\cdot (\nabla \varphi {)}_{P}dV \\ ={\varphi }_P{\int }_{V_p}dV+(\nabla {\varphi }_P){\int }_{V_p}(x-x_P)dV={\varphi }_P{V}_p\text{\hspace{1em}(1.3)} \end{gathered}$$
式(1.3)是之后经常要用到的一个式子，是有限体积法二阶精度的一个重要结果。

另外，一个方法的精度是由该方法中的最低精度决定的，因此，式(1.2)直接决定了有限体积法的最高精度是二阶，即使你采用更高阶的离散格式，也没法提高算法的整体精度（式(1.2)的物理含义是认为物理量在控制体内线性分布）。特别要注意的是，如果你在计算中使用了低于二阶精度的离散格式（如一阶迎风），那么你将会将整个方法的精度拉低到一阶，这种情况往往是要避免的。

系列说明：
接触有限体积法有一段时间了，也看了一些资料，但是有时候总觉得看过一遍之后什么也记不住。老话说得好，眼过千遍不如手过一遍，久而久之我就有了写一些比较像样子的笔记的想法。初学的时候曾经写过一本叫“OpenFOAM编程笔记：单相不可压缩流动”的册子，但当时基础太差（现在基础也不好），错误太多，倒不如推倒重来。
本系列将持续更新，欢迎各位挑错交流，挑错交流可以直接留言也可以联系邮箱[email protected]。等到预定内容全部写完后我将集结所有内容为一个独立的文件，开放下载。

---

1. Versteeg H K , Malalasekera W . An Introduction to Computational Fluid Dynamic: The Finite Volume Method Second edition [M]. Edinburgh Gate：Pearson Education, 2007. Figure 4.12. ↩︎

2. Jasak, Hrvoje. Error analysis and estimation for the finite volume method with applications to fluid flows.[D]. London：Imperial College London . 1996 . Figure 3.1 ↩︎ ↩︎