常用的数学基础知识集锦

介绍部分常用的基础数学知识(持续更新…)。

一、前言

泰勒级数、矩阵指数函数、向量的斜对称矩阵、向量叉乘是在机器人控制中常用的基本数学知识，本文对这些知识做一个汇总，为将来的机器人研究做铺垫。为了能正常浏览公式，推荐使用Chrome浏览器，并添加一款名为TeX All the Things的插件。在Markdown文本中编写公式的语法参见如下链接：

Markdown文本中编辑数学公式的语法规则

通过上述语法规则所编写的大部分公式可以通过浏览器正常观看，但是矩阵除外。为了能正确显示矩阵，可以通过在线LaTeX公式编辑器(链接如下)将公式转为.png(建议分辨率为120)，再插入文中。

在线LaTeX公式编辑器

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二、矩阵指数函数及泰勒级数

常用的矩阵指数函数如下所示。

$$e^{A\text{A}At}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{A\text{A}A}^k{t}^k}{k!}=I\text{I}I+{A\text{A}A}^t+\frac{(A\text{A}At{)}^2}{2!}+\frac{(A\text{A}At{)}^3}{3!}+\cdots \text{\hspace{1em}(2-1)}$$

$$\sin A\text{A}At=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k{A\text{A}A}^{2k+1}{t}^{2k+1}}{(2k+1)!}\text{\hspace{1em}(2-2)}$$

$$\cos A\text{A}At=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k{A\text{A}A}^{2k}{t}^{2k}}{(2k)!}\text{\hspace{1em}(2-3)}$$

正弦、余弦函数的泰勒级数展开如式(2-4)~(2-5)所示。
$$\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}{x}^{2k+1}\text{\hspace{1em}(2-4)}$$

$$\cos x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{x}^{2k}\text{\hspace{1em}(2-5)}$$

三、一阶线性微分方程的解法

给出一个一阶线性微分方程:

$$\dot{y}(t)=xy(t)\text{\hspace{1em}(3-1)}$$

即：

$$\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}=xy(t)\text{\hspace{1em}(3-2)}$$

将式(3-2)变形，可得：

$$\frac{1}{y(t)}\mathrm{d}y(t)=x\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(3-3)}$$

对上式两边进行积分：

$$\int \frac{1}{y(t)}\mathrm{d}y(t)=\int x\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(3-4)}$$

即：

$$\ln y(t)=xt+C\text{\hspace{1em}(3-5)}$$

上式中，$C$是常数，对上式两边取指数，有：

$$y(t)=e^{xt}y(0)\text{\hspace{1em}(3-6)}$$

式(3-6)中，$y(0)$表示$y(t)$在零时刻的取值。

四、斜对称矩阵的定义及性质

定义向量 $\omega \text{ω}\omega ={\left[\begin{array}{ccc}{\omega }_1& {\omega }_2& {\omega }_3\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$ 及其斜对称矩阵(又称为反对称矩阵) $\hat{\omega }\text{ω^}\hat{\omega }$ 为：
$$\hat{\omega }\text{ω^}\hat{\omega }=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4-1)}$$

斜对称矩阵的性质如下：

$${\hat{\omega }\text{ω^}\hat{\omega }}^{\mathrm{T}}=-\hat{\omega }\text{ω^}\hat{\omega }\text{\hspace{1em}(4-2)}$$

$${\hat{\omega }\text{ω^}\hat{\omega }}^2=\omega \text{ω}\omega {\omega \text{ω}\omega }^{\mathrm{T}}-{\Vert \omega \text{ω}\omega \Vert }^{2}I\text{I}I\text{\hspace{1em}(4-3)}$$

$${\hat{\omega }\text{ω^}\hat{\omega }}^3=-{\Vert \omega \text{ω}\omega \Vert }^{2}A\text{A}A\hat{\omega }\text{ω^}\hat{\omega }\text{\hspace{1em}(4-4)}$$

五、向量的叉乘

向量的叉乘，又称为向量积。

1.向量积的模长

两个平面向量$a\text{a}a$、$b\text{b}b$的叉乘记为$a\text{a}a\times b\text{b}b$，模长的计算方法如下：

$$|a\text{a}a\times b\text{b}b|=|a\text{a}a|\cdot |b\text{b}b|\cdot \sin \theta \text{\hspace{1em}(5-1)}$$

2.向量积的方向

方向为：向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从 $a\text{a}a$ 以不超过180度的转角转向 $b\text{b}b$ 时，竖起的大拇指指向是叉乘的方向。）

在上图中，$a\text{a}a\times b\text{b}b$ 的方向是垂直指向屏幕外侧。

3.向量积的物理意义

物理意义：向量的叉乘常用来表示平行四边形的面积。从上图可以看出：$a\text{a}a\times b\text{b}b$ 表示的是平行四边形面积，$a\text{a}a\times c\text{c}c$ 表示的是矩形面积，显然有：
$$a\text{a}a\times b\text{b}b=a\text{a}a\times c\text{c}c\text{\hspace{1em}(5-2)}$$

这意味着，$a\text{a}a$ 与任意以 $a\text{a}a$ 所在直线上一点为起点、以 $b\text{b}b$ 的终点为终点的向量进行叉乘，得到的结果都是一样的。

4.向量积与斜对称矩阵

将二维平面内的向量拓展到三维空间，若$a\text{a}a={\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$与$b\text{b}b={\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$进行叉乘，则有如下结果：
$$a\text{a}a\times b\text{b}b=\left[\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]=\hat{a}\text{a^}\hat{a}b\text{b}b\text{\hspace{1em}(5-3)}$$

上式建立起了向量叉乘与向量斜对称矩阵之间的联系。