球体积公式推导（积分）

转载自Fxkkks

球的体积

刚刚学了定积分的一点皮毛…来玩一玩
废话不多说，Let’s start

设球的半径为$R$
我们把球（我们通过半球来考虑）切成好多好多（$n$片）薄片，就是一个一个的圆，设圆的半径分别为$r$
面积

$$S(r)=\pi r^2$$

到圆心距离为$x$的圆的半径

$$f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$$

可以得到

$$V=2{\int }_0^{R}S(f(x))dx$$

$$=2{\int }_0^{R}S(\sqrt{R^2-x^2})dx$$

$$=2{\int }_0^R\pi (R^2-x^2)dx$$

$$=2\pi ({\int }_0^R{R}^{2}dx-{\int }_0^R{x}^{2}dx)$$

$$=2\pi (R^3-{\int }_0^R{x}^{2}dx)$$

下面我们来看以下$g(x)$如何解决

$$g(x)={\int }_0^R{x}^{2}dx$$

$$=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n(\frac{iR}{n}{)}^2\times \frac{R}{n}$$

$$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{R^3}{n^3}\sum _{i=1}^n{i}^2$$

$$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{R^3}{n^3}\times \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

$$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{R^3}{6}\times (2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2})$$

$$=\frac{R^3}{3}$$

最后代入$V$，大功告成

$$V=2\pi (R^3-{\int }_0^R{x}^{2}dx)$$

$$=2\pi (R^3-\frac{R^3}{3})$$

$$=\frac{4}{3}\pi R^3$$

其实算出了$V$的公式，球的表面积公式就不攻自破了。
只要对$V$求导就好了
为什么呢？因为一个球变大了很小很小的一点点，不就相当于多了一层表面积吗

$$S=V^{\prime }=4\pi R^2$$