算法导论 之 平衡二叉树 - 删除 - 递归[C语言]

• 作者：邹祁峰
• 邮箱：[email protected]
• 博客：http://blog.csdn.net/qifengzou
• 日期：2013.12.20 12:00
  
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1 前言

  在之前的博文《算法导论 之 平衡二叉树 - 插入》和《算法导论 之 平衡二叉树 - 打印》中已经给出了创建、插入、查询、打印以及销毁平衡二叉树的C语言实现过程，在此篇中出现的一些结构体、宏、枚举、函数等相关定义可以到以上两篇中找到。之所以现在才来写平衡二叉树的删除操作，主要是其过程相对比较复杂，且测试和实现过程中出现了各种各样的问题。

2 处理思路

  虽然平衡二叉树的结点删除操作的代码比较复杂，但是经过认真分析后，可以发现删除过程只有以下3种情况：[注：只要牢牢把握住以下3点，理解并实现平衡二叉树的删除操作不是太难]

2.1 被删的结点是叶子结点

处理思路：

  ①、将该结点直接从树中删除；

  ②、其父节点的子树高度的变化将导致父结点平衡因子的变化，通过向上检索并推算其父结点是否失衡；

  ③、如果其父结点未失衡，则继续向上检索推算其父结点的父结点是否失衡...如此反复②的判断，直到根结点；如果向上推算过程中发现了失衡的现象，则进行④的处理；

  ④、如果其父结点失衡，则判断是哪种失衡类型[LL、LR、RR、RL]，并对其进行相应的平衡化处理。如果平衡化处理结束后，发现与原来以父节点为根结点的树的高度发生变化，则继续进行②的检索推算；如果与原来以父结点为根结点的高度一致时，则可说明父结点的父结点及祖先结点的平衡因子将不会有变化，因此可以退出处理；[注意：删除操作时的LL和RR型与插入操作的LL和RR型的判断有一点小区别，那就是删除操作中，当node->lchild或node->rchild的平衡因子为AVL_EH时，也进行LL或RR操作]

举例说明：

  假设现在要删除叶子结点D，如图1所示。首先，将D从树中删除，再判断其父结点C是否失衡，如果失衡则进行平衡化处理；再判断C的父结点B是否失衡，如果失衡则进行平衡化处理；再判断B的父结点A是否失衡，如果失衡则....依此类推，直到根结点或高度不再变化为止。

图1 叶子结点

2.2 被删的结点只有左子树或只有右子树

处理思路：

  ①、将左子树（右子树）替代原有结点C的位置；

  ②、结点C被删除后，则以C的父结点B为起始推算点，依此向上检索推算各结点（父、祖先）是否失衡；

  ③、如果其父结点未失衡，则继续向上检索推算其父结点的父结点是否失衡...如此反复②的判断，直到根结点；如果向上推算过程中发现了失衡的现象，则进行④的处理；

  ④、如果其父结点失衡，则判断是哪种失衡类型[LL、LR、RR、RL]，并对其进行相应的平衡化处理。如果平衡化处理结束后，发现与原来以父节点为根结点的树的高度发生变化，则继续进行②的检索推算；如果与原来以父结点为根结点的高度一致时，则可说明父结点的父结点及祖先结点的平衡因子将不会有变化，因此可以退出处理；[注意：删除操作时的LL和RR型与插入操作的LL和RR型的判断有一点小区别，那就是删除操作中，当node->lchild或node->rchild的平衡因子为AVL_EH时，也进行LL或RR操作]

图2 只有左子树 或 只有右子树

2.3 被删的结点既有左子树又有右子树

处理思路：

  ①、找到被删结点C和替代结点R(结点C的前继结点或后继结点 —— 在此选择前继)；

  ②、将替代结点R的值赋给结点C，再把替代结点R的左孩子RL替换替代结点R的位置，最后把替代结点R的空间释放掉；[注意：最终删除的是替代结点R，而之前要求被删除的结点C并未被删除 - 原因：通过修改结点C的值达到结点C和结点R的替换]

  ③、替代结点R被删除后，则以R的父结点E为起始推算点，依此向上检索推算父结点或祖先结点是否失衡；

  ④、如果其父结点未失衡，则继续向上检索推算其父结点的父结点是否失衡...如此反复③的判断，直到根结点；如果向上推算过程中发现了失衡的现象，则进行⑤的处理；

  ⑤、如果其父结点失衡，则判断是哪种失衡类型[LL、LR、RR、RL]，并对其进行相应的平衡化处理。如果平衡化处理结束后，发现与原来以父节点为根结点的树的高度发生变化，则继续进行②的检索推算；如果与原来以父结点为根结点的高度一致时，则可说明父结点的父结点及祖先结点的平衡因子将不会有变化，因此可以退出处理；[注意：删除操作时的LL和RR型与插入操作的LL和RR型的判断有一点小区别，那就是删除操作中，当node->lchild或node->rchild的平衡因子为AVL_EH时，也进行LL或RR操作]

图3 既有左子树 又有右子树

3 代码实现

/******************************************************************************
 **函数名称: avl_delete
 **功    能: 删除key值结点(对外接口)
 **输入参数: 
 **     tree: 平衡二叉树
 **     key: 被删除的关键字
 **输出参数: NONE
 **返    回: AVL_SUCCESS:成功 AVL_FAILED:失败
 **实现描述: 
 **注意事项: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.19 #
 ******************************************************************************/
int avl_delete(avl_tree_t *tree, int key)
{
    bool lower = false; /* 记录高度是否降低 */

    if (NULL == tree->root) {
        return AVL_SUCCESS;
    }

    return _avl_delete(tree, tree->root, key, &lower);
}

代码1 删除结点（外部接口）

/******************************************************************************
 **函数名称: _avl_delete
 **功    能: 在以node为根结点的子树中删除指定的key值结点(内部接口)
 **输入参数: 
 **     tree: 平衡二叉树
 **     node: 以node为根结点的子树
 **     key: 被删除的关键字
 **输出参数: 
 **     lower: 高度是否降低
 **返    回: AVL_SUCCESS:成功 AVL_FAILED:失败
 **实现描述: 
 **注意事项: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.19 #
 ******************************************************************************/
int _avl_delete(avl_tree_t *tree, avl_node_t *node, int key, bool *lower)
{
    avl_node_t *parent = node->parent;

    /* 1. 查找需要被删除的结点 */
    if (key < node->key) {      /* 左子树上查找 */
        if (NULL == node->lchild) {
            return AVL_SUCCESS;
        }
        
        _avl_delete(tree, node->lchild, key, lower);
        if (true == *lower) {
            return avl_delete_left_balance(tree, node, lower);
        }
        return AVL_SUCCESS;
    }
    else if (key > node->key) { /* 右子树上查找 */
        if (NULL == node->rchild) {
            return AVL_SUCCESS;
        }
        
        _avl_delete(tree, node->rchild, key, lower);
        if (true == *lower) {
            return avl_delete_right_balance(tree, node, lower);
        }
        return AVL_SUCCESS;
    }

    /* 2. 已找到将被删除的结点node */
    /* 2.1 右子树为空, 只需接它的左子树(叶子结点也走这) */
    if (NULL == node->rchild) {
        *lower = true;

        avl_instead_child(tree, parent, node, node->lchild);

        free(node), node = NULL;
        return AVL_SUCCESS;
    }
    /* 2.2 左子树空, 只需接它的右子树 */
    else if (NULL == node->lchild) {
        *lower = true;

        avl_instead_child(tree, parent, node, node->rchild)

        free(node), node=NULL;
        return AVL_SUCCESS;
    }

    /* 2.3 左右子树均不为空: 查找左子树最右边的结点 替换被删的结点 */
    avl_instead_and_delete(tree, node, node->lchild, lower);
    if (true == *lower) {
        return avl_delete_left_balance(tree, node, lower);
    }
    return AVL_SUCCESS;
}

代码2 查找并删除结点（内部接口）

/******************************************************************************
 **函数名称: avl_instead_and_delete
 **功    能: 找到替换结点, 并替换被删除的结点(内部接口)
 **输入参数: 
 **     tree: 平衡二叉树
 **     node: 将被删除的结点
 **     prev: 前继结点：此结点最右端的结点将会用来替换被删除的结点.
 **输出参数: 
 **     lower: 高度是否变化
 **返    回: AVL_SUCCESS:成功 AVL_FAILED:失败
 **实现描述: 
 **注意事项: 
 **     注：在此其实并不会删除node, 而是将prev的值给了node, 再删了prev.
 **         因为在此使用的递归算法, 如果真把node给释放了，会造成压栈的信息出现错误!
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.19 #
 ******************************************************************************/
int avl_instead_and_delete(avl_tree_t *tree, avl_node_t *node, avl_node_t *prev, bool *lower)
{
    if (NULL == instead->rchild) {
        *lower = true;
        
        node->key = prev->key;    /* 注: 将prev的值给了node */
        if (prev == node->lchild) {
            avl_set_lchild(node, prev->lchild);
            /* prev->parent == node结点可能失衡，此处理交给前栈的函数处理 */
        }
        else {
            avl_set_rchild(prev->parent, prev->lchild);
            /* prev的父结点可能失衡，此处理交给前栈的函数处理 */
        }
        free(prev), prev=NULL;    /* 注意: 释放的不是node, 而是释放prev */
        return AVL_SUCCESS;
    }

    avl_instead_and_delete(tree, node, prev->rchild, lower);
    if (true == *lower) {
        /* node的父结点可能失衡，此处理交给前栈的函数处理
            但prev可能失衡，因此必须在此自己处理 */
        avl_delete_right_balance(tree, prev, lower);
    }
    return AVL_SUCCESS;
}

代码3 替换并删除结点（内部接口）

/******************************************************************************
 **函数名称: avl_delete_left_balance
 **功    能: 结点node的左子树某结点被删除, 左高度降低后, 平衡化处理(内部接口)
 **输入参数: 
 **     tree: 平衡二叉树
 **     node: 结点node的左子树的某个结点已被删除
 **输出参数: 
 **     lower: 高度是否变化
 **返    回: AVL_SUCCESS:成功 AVL_FAILED:失败
 **实现描述: 
 **注意事项: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.19 #
 ******************************************************************************/
int avl_delete_left_balance(avl_tree_t *tree, avl_node_t *node, bool *lower)
{
    avl_node_t *rchild = NULL, *rlchild = NULL, *parent = node->parent;

    switch (node->bf) {
        case AVL_LH:    /* 左高: 左子树高度减1 树变矮 */
        {
            node->bf = AVL_EH;
            *lower = true;
            break;
        }
        case AVL_EH:    /* 等高: 左子树高度减1 树高度不变 */
        {
            node->bf = AVL_RH;
            *lower = false;
            break;
        }
        case AVL_RH:    /* 右高: 左子树高度减1 树失去平衡 */
        {
            rchild = node->rchild;
            switch (rchild->bf) {
                case AVL_EH:    /* RR型: 向左旋转 - 区别：插入操作时对AVL_EH不做处理 */
                case AVL_RH:    /* RR型: 向左旋转 */
                {
                    if (AVL_EH == rchild->bf) {
                        *lower = false;
                        rchild->bf = LH;
                        node->bf = AVL_RH;
                    }
                    else { /* AVL_RH == rchild->bf */
                        *lower = true;
                        rchild->bf = AVL_EH;
                        node->bf = AVL_EH;
                    }

                    avl_set_rchild(node, rchild->lchild);
                    avl_set_lchild(rchild, node);
                    avl_instead_child(tree, parent, node, rchild);
                    break;
                }
                case AVL_LH:    /* RL型: 先向右旋转 再向左旋转 */
                {
                    *lower = true;
                    rlchild = rchild->lchild;
                    switch (rlchild->bf) {
                        case AVL_LH:
                        {
                            node->bf = AVL_EH;
                            rchild->bf = AVL_RH;
                            rlchild->bf = AVL_EH;
                            break;
                        }
                        case AVL_EH:
                        {
                            node->bf = AVL_EH;
                            rchild->bf = AVL_EH;
                            rlchild->bf = AVL_EH;
                            break;
                        }
                        case AVL_RH:
                        {
                            node->bf = AVL_LH;
                            rchild->bf = AVL_EH;
                            rlchild->bf = AVL_EH;
                            break;
                        }
                    }

                    avl_set_rchild(node, rlchild->lchild);
                    avl_set_lchild(rchild, rlchild->rchild);
                    avl_set_lchild(rlchild, node);
                    avl_set_rchild(rlchild, rchild); 

                    avl_instead_child(tree, parent, node, rlchild);
                    break;
                }
            }
            break;
        }
    }

    return AVL_SUCCESS;
}

代码4 左子树高度降低后平衡化处理

/******************************************************************************
 **函数名称: avl_delete_right_balance
 **功    能: 结点node的右子树某结点被删除, 左高度降低后, 平衡化处理(内部接口)
 **输入参数: 
 **     tree: 平衡二叉树
 **     node: 结点node的右子树的某个结点已被删除
 **输出参数: 
 **     lower: 高度是否变化
 **返    回: AVL_SUCCESS:成功 AVL_FAILED:失败
 **实现描述: 
 **注意事项: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.19 #
 ******************************************************************************/
int avl_delete_right_balance(avl_tree_t *tree, avl_node_t *node, bool *lower)
{
    avl_node_t *lchild = NULL, *lrchild = NULL, *parent = node->parent;

    switch (node->bf) {
        case AVL_LH:    /* 左高: 右子树高度减1 树失去平衡 */
        {
            lchild = node->lchild;
            switch (lchild->bf) {
                case AVL_EH:    /* LL型: 向右旋转 - 区别：插入操作时，对AVL_EH不做处理 */
                case AVL_LH:    /* LL型: 向右旋转 */
                {
                    if (AVL_EH == lchild->bf) {
                        *lower = false;
                        lchild->bf = AVL_RH;
                        node->bf = AVL_LH;
                    }
                    else { /* AVL_LH == lchild->bf */
                        *lower = true;
                        lchild->bf = AVL_EH;
                        node->bf = AVL_EH;
                    }

                    avl_set_lchild(node, lchild->rchild);
                    avl_set_rchild(lchild, node); 
                    avl_instead_child(tree, parent, node, lchild);
                    break;
                }
                case AVL_RH:    /* LR型: 先向左旋转 再向右旋转 */
                {
                    *lower = true;
                    lrchild = lchild->rchild;
                    switch (lrchild->bf) {
                        case AVL_LH:
                        {
                            node->bf = AVL_RH;
                            lchild->bf = AVL_EH;
                            lrchild->bf = AVL_EH;
                            break;
                        }
                        case AVL_EH:
                        {
                            node->bf = AVL_EH;
                            lchild->bf = AVL_EH;
                            lrchild->bf = AVL_EH;
                            break;
                        }
                        case AVL_RH:
                        {
                            node->bf = AVL_EH;
                            lchild->bf = AVL_LH;
                            lrchild->bf = AVL_EH;
                            break;
                        }
                    }

                    avl_set_lchild(node, lrchild->rchild);
                    avl_set_rchild(lchild, lrchild->lchild);
                    avl_set_rchild(lrchild, node);
                    avl_set_lchild(lrchild, lchild);

                    avl_instead_child(tree, parent, node, lrchild);
                    break;
                }
            }
            break;
        }
        case AVL_EH:    /* 等高: 右子树高度减1 树高度不变 */
        {
            node->bf = AVL_LH;
            *lower = false;
            break;
        }
        case AVL_RH:    /* 右高: 右子树高度减1 树变矮 */
        {
            node->bf = AVL_EH;
            *lower = true;
            break;
        }
    }
    return AVL_SUCCESS;
}

代码5 右子树高度降低后 平衡化处理

/******************************************************************************
 **函数名称: avl_assert
 **功    能: 检测结点是否正常
 **输入参数: 
 **     node: 被检测的结点
 **输出参数: NONE
 **返    回: VOID
 **实现描述: 
 **注意事项: 
 **     注：在增加或删除结点的过程中，会有很多指针的操作，稍不谨慎，可能就会出现严重问题。
 **         随着插入或删除的过程，树的结构不断调整和变化，要想通过肉眼和GDB查看树内部结构
 **         是否正常，这将变得越来越困难。但是通过调用此函数，可快速判断出当前结点的相关
 **         指针信息是否正常，一旦出现异常，则会直接coredump，再通过GDB便可快速的找出
 **         错误代码。
 **作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.20 #
 ******************************************************************************/
void avl_assert(const avl_node_t *node)
{
    if((NULL == node)
        || (NULL == node->parent)) 
    {
        return;
    }

    if((node->parent->lchild != node)           /* 检查父子关系是否正常 */
        && (node->parent->rchild != node)) 
    {
        assert(0);
    }

    if((node->parent == node->lchild)           /* 检查是否存在环行链表 */
        || (node->parent == node->rchild))
    {
        assert(0);
    }
}

代码6 结点检测

4 结果展示

  左图为原始平衡二叉树，随机删除多个结点后，得到右图。通过观察可知右图依然是一棵平衡二叉树。

图4 测试结果