Luogu4936 Agent1

原题链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4936

Agent1

题目背景

2018年11月17日，中国香港将会迎来一场XM大战，是世界各地的ENLIGHTENED与RESISTANCE开战的地点，某地 的ENLIGHTENED总部也想派Agent去参加这次的XM大战，与世界其他地方的ENLIGHTENED并肩作战。

题目描述

某地的ENLIGHTENED总部总部有$N$个Agent，每个Agent的能力值互不相同，现在ENLIGHTENED行动指挥想要派出$A,B$两队Agent去参加XM大战。但是参加大战的两个队伍要满足两个要求：

$A$队中能力最大的Agent的能力值要小于$B$队能力最弱的Agent的能力值。
$A,B$两队都要有人参战。
并不一定所有的Agent都要去参加XM大战的，心急的ENLIGHTENED行动指挥想知道有多少种安排Agent参加大战的方案。由于答案可能很大，所以只需要你求出答案模$(10^9+7)$的值就可以了。

输入输出格式

输入格式：

输入仅一行，为一个整数$N$。

输出格式：

输出答案模$(10^9+7)$的值。

输入输出样例

输入样例#1：

3

输出样例#1：

5

输入样例#2：

6

输出样例#2：

129

说明

对于$20\%$的数据 $N\le 10$

对于$40\%$的数据 $N\le 10^3$

对于$60\%$的数据 $N\le 10^5$

对于$100\%$的数据 $N\le 10^9$

题解

大概是从$n$个人里面先选出$2$个及以上的人，然后从中间选一个点断开，我们就把人分成了两组，式子如下：
$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)(i-1)\\ =& \sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)i-\sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\\ =& n\times 2^{n-1}-(2^n-1)\\ =& (n-2)\times 2^{n-1}+1\end{array}$$

然后就变成了快速幂板子题。

代码

#include
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n;
ll power(ll x,ll p){ll r=1;for(;p;p>>=1,x=x*x%mod)if(p&1)r=r*x%mod;return r;}
void in(){scanf("%d",&n);}
void ac(){printf("%lld",((n-2)*power(2,n-1)%mod+1)%mod);}
int main(){in(),ac();}