题目: 一个机器人位于 m x n 网格的右上角. 机器人只能向右或者向下. 机器人试图到达右下角. 问有多少种不重复的路径?
上图是一个 3 x 7 的网格. m 和 n 最大为 100.
链接: https://leetcode.com/problems/unique-paths/
方法一: 自上而下的递归
如图, 到达 Finish 点 (3, 7) 的所有不重复路径个数等于到达点 (3, 6) 的路径个数加上到达点 (2, 7) 的路径个数. 同理: (3, 6) = (3, 5) + (2, 6) .....
当 m = 1 或 n = 1 时, 只有一条路径. 这是递归的终止条件.
具体的代码如下:
public int uniquePaths(int m, int n) {
if (m == 1 || n == 1)
return 1;
else
return uniquePaths(m - 1, n) + uniquePaths(m, n - 1);
} LeetCode 上提交后显示超时了, 预料之中.... 一般有返回值的递归都比较耗时, 因为要保存所有的未计算的节点.
方法二: 自下而上的循环
自上而下的递归不行, 我们可以尝试自下而上的循环, 把每一次的计算结果保存在二维数组中.例如 matrix[1][2] = 3 代表从 (1, 1) 到达 (2, 3) 共有 3 种不同的路径(数组下标从 0 开始, 所以 (m, n) 对应 matrix[m-1][n-1]). 从 matrix[0][0] 一直计算到 matrix[99][99], 因为 LeetCode 测试用例有几十个, 所以将计算结果保存到静态成员变量中, 只计算一次就可以了.
static int[][] matrix = new int[100][100];
static {
matrix[0][0] = 1;
for (int i = 1; i < 100; i++) {
matrix[i][0] = 1;
matrix[0][i] = 1;
}
for (int m = 1; m < 100; m++) {
for (int n = 1; n < 100; n++) {
matrix[m][n] = matrix[m][n - 1] + matrix[m - 1][n];
}
}
}
// 自下而上把算出来的值存入二维数组中(100X100),然后直接取用
public int uniquePaths2(int m, int n) {
return matrix[m - 1][n - 1];
} 提交后显示用时 9ms,仍然不够快.
方法三
把我们得到的二维数组打印出来, 看看有什么规律没有:
斜着看这不就是杨辉三角吗! 坑啊...
其中, 计算方法为:
(m, n) 对应于上图的第 (m+n-2) 行, 第 (n-1) 列
public int uniquePaths3(int m, int n) {
if (m == 1 || n == 1)
return 1;
if (m == 2 || n == 2)
return m >= n ? m : n;
if (m >= n)
return (int) (f( m + n - 2, m) / f( n - 1, 1));
else
return (int) (f( m + n - 2, n) / f( m - 1, 1));
}
//阶乘.不能用 int, 因为 13 的阶乘就超过 int 的范围了
public static long f(int a, int b) {
long result = (long) a;
for (int i = a - 1; i > b - 1; i--)
result *= i;
return result;
}提交后显示用时 0 ms, 够快了.