一些数据结构的思想(2)

• 1000瓶水中找 出有毒的那瓶，毒性一周后发作，一周内最少需要多少只老鼠

  这个题是对bit位的应用，1000接近1024，所以需要10个bit位，对瓶子进行编号，从0到999，这样需要10只老鼠。瓶子的编号分别为：

  00000,00000

  00000,00001

  00000,00010

  00000,00011

  00000,00101

  00000,00111

  。。。。。。

  11111，00111

  同时给老鼠编号，从1,2,...10，从低位开始，让第n个老鼠喝下第n个bit位为1瓶子中的药水。一周后，若所有的老鼠都没有发病，那么是第一个瓶子有毒，如果有一些老鼠发病，那么从低到高的bit位置成1，其他的还是0。变成整数后，对应的数字即为有毒药水的编号。

   

• 给定一个单词a，如果通过交换单词中字母的顺序可以得到另外的单词b，那么定义b是a的兄弟单词，例如单词army和mary互为兄弟单词。现在给定一个字典，用户输入一个单词，如何根据字典找出这个单词有哪些兄弟单词？要求时间和空间效率尽可能的高。

  解法一：

  使用hash_map和链表。

  首先定义一个key，使得兄弟单词有相同的key，不是兄弟的单词有不同的key。例如，将单词按字母从小到大重新排序后作为其key，比如bad的key为abd，good的key为dgoo。

  使用链表将所有兄弟单词串在一起，hash_map的key为单词的key，value为链表的起始地址。
  开始时，先遍历字典，将每个单词都按照key加入到对应的链表当中。当需要找兄弟单词时，只需求取这个单词的key，然后到hash_map中找到对应的链表即可。

  这样创建hash_map时时间复杂度为O(n)，查找兄弟单词时时间复杂度是O(1)。

  解法二：

  同样使用hash_map和链表。

  将每一个字母对应一个质数，然后让对应的质数相乘，将得到的值进行hash，这样兄弟单词的值就是一样的了，并且不同单词的质数相乘积肯定不同。

  使用链表将所有兄弟单词串在一起，hash_map的key为单词的质数相乘积，value为链表的起始地址。

  对于用户输入的单词进行计算，然后查找hash，将链表遍历输出就得到所有兄弟单词。

  这样创建hash_map时时间复杂度为O(n)，查找兄弟单词时时间复杂度是O(1)。

• 判断两个数组中是否有相同的数字

  首先要说声不好意思，因为这个题说的很模糊，但是也算是两个方向吧。也就是说，给定的两个数组是否有序，如果无序的话那么解决这个问题所用的时间复杂度就是nlog(n)，如果给定的两个数组有序，那么解决方法的时间复杂度会是O(n)。下面会给出两个解法。（假设数组是有序的，因为如果无序的话直接用快速排序或者堆排序在nlog(n)就可以解决）。

  第一种方法，就是应用折半查找，依次从第一个数组中取出一个元素，到第二个数组中应用折半查找方法去寻找。这样一个循环内层加折半查找的嵌套，总得时间复杂度应该是mlog(n)(m,和n分别是两个数组的长度)。

  第二种方法就是设定两个指针，分别指向第一个数组和第二个数组。取出指向的元素进行比较，如果ai<bj（因为数组是有序的），所以说明如果存在ak=bj，那么k应该在i之后，所以i得加1，如果i加1了以后，bj < a(i+1)，那么说明和a(i+1)相等的b数组中的元素要在bj之后，所以j要加1。依次类推，直到找到ai=bj，或者不存在，循环结束为止。这个算法的时间复杂度是Om+n).（m和n分别指两个数组的长度）。

   

• 同时寻找一个数组中的最大元素和最小元素

  给定一个数组a,含有n，寻找这个数组中的最大元素和最小元素，刚看到这个题目的时候，觉得这个问题没什么思考性，因为这个问题很简单，就是设定一个初始最大值和初始最小值，然后循环遍历数组，进行比较，至多会在2(n-1)的时间内找到最大值和最小值。下面给出一种分析的方法，使得这个问题能够在3*(n/2)内结束。首先要判定n是奇数还是偶数，

  如果是奇数的话，假设min=max=a[1].然后遍历数组，但是这时候每次取两个数字，并把这两个数字进行比较，将较大的值和max进行比较，较小的值和min进行比较。这样循环 会在(n-1)/2或者(n-2)/2次后结束，这样比较的次数就变为每次循环要比较三次。这个方法对于n值很小的数组来说，没什么太大的影响，但是如果数组的n值很大的话，那时间减少了相当于原来的四分之一。

• 长度为1的线段，随机在其上选择两点，将线段分为三段，问这3个字段能组成一 个三角形的概率是多少

• 把x,y的取值放在坐标轴上进行考虑，从0到1的那段。那三条边的长度就为x,y-x,1-y。

  假设我们选择的两个点的坐标是x和y（先假设x < y）：

  那么由三角形两边和大于第三边的性质，有：

  x+y-x>1-y

  x+1-y>y-x

  1-y+y-x>x

  由上述不等式得到：x < 0.5, 0.5 < y < x+0.5 

  然后画个图就能得到联合概率为1/8，不要忘了这个结果是在假设x < y时得来的，所以再乘以2，得到1/4。

• 单链表的反转

• （1）设置三个变量，p,q,t,分别指向三个节点，然后遍历一遍单链表，改变各个节点的指针的指向，但是这个方法会很绕，如果没有清晰的思路很容易把自己绕晕。

  （2）使用栈。可以一次遍历链表，把链表中的各个节点存入到堆栈中，然后在操作栈，因为栈的特性是后进先出，那么这样很简单的就可以把链表反转。

  （3）重新设置一个头节点，让其代表一个新的链表，然后依次遍历之前给定的链表，每次遍历取出一个节点，插入到新链表的开头，那么这样一次遍历之后就重新建立了一个链表，而且是之前链表的反转，

   

• 位操作交换两数

• void Swap(int &a, int &b)
  
   {
  
       if (a != b)
  
       {
  
           a ^= b;
  
           b ^= a;
  
          a ^= b;
  
       }
  
   }

   

• 二进制中1的个数

• 统计二进制中1的个数可以直接移位再判断，当然像《编程之美》书中用循环移位计数或先打一个表再计算都可以。本文详细讲解一种高效的方法。以34520为例，可以通过下面四步来计算其二进制中1的个数。

  第一步：每2位为一组，组内高低位相加

        10 00 01 10  11 01 10 00

    -->01 00 01 01  10 01 01 00

  第二步：每4位为一组，组内高低位相加

        0100 0101 1001 0100

    -->0001 0010 0011 0001

  第三步：每8位为一组，组内高低位相加

        00010010 00110001

    -->00000011 00000100

  第四步：每16位为一组，组内高低位相加

        00000011 00000100

    -->00000000 00000111

  这样最后得到的00000000 00000111即7即34520二进制中1的个数。类似上文中对二进制逆序的做法不难实现第一步的代码：

  x = ((x & 0xAAAA) >> 1) + (x & 0x5555);

• 如何将一棵树转换成二叉树？

• 解答：

  1. 将 节点的孩子 放在左子树；

  2. 将 节点的兄弟 放在右子树。

  延伸：

  任何一棵树都可以表示成二叉树，并不是任何一棵二叉树都可以表示成树。那么树多还是二叉树多？

  1. 任何一棵树都可以表示成二叉树，结合以上题目很容易理解。

  2.不是任何一棵二叉树都可以表示成树：

  当根节点包含右子树的时候，就无法表示成树了。

  3. 树多还是二叉树多的问题：

  二叉树也是树的一种，如果按照包含关系来说，树肯定包含二叉树了，树多一些

  • 从19本书中选取五本，并且要求这五本互相不相邻，一共有多少种方法？

  题目：

  从19本书中选取五本，并且要求这五本互相不相邻，一共有多少种方法？

  解决方案一：挡板问题——插空法

  假设当前在书架上已经放好14本书，那么只需要再把剩下五本书插入这些空中即可。

  14本书有15个可以插入的空，因此，总共方法有：C(15,5)。

  解决放啊二：二进制

  转化成二进制方式，0表示选中国，1表示未选中。则题意转变成，要求00不能相邻。

  可以编程遍历来实现。

  • 求一个有序整数数组中和为K的数的对数

  题目：

  求一个有序整数数组中和为K的数的对数。

  解决方案：

  两个指针，一个在头，一个在尾；

  大则-，小则加。

  延伸题目：

  （1）求整数数组中和为K的对数。

  先排序，O(N*logN)，在按照以上算法查找O(N)。

  （2）求一个整数数组差为K的数的对数。

  先排序，O(N*logN)，然后，用两个指针均从头部开始，一个先走一个后走，差过小则前指针++，差过大则后指针++。

  这里需要考虑一个问题，如果数组中有重复元素的话，需要做处理。

  我是天王盖地虎的分割线                                                                 

   

   

  参考：http://blog.csdn.net/yahohi