线性代数——向量1

向量(vector)

向量: n n n个数 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n a_1,a_2,···,a_n a1,a2,,an组成的有序数组 ( a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n ) (a_1,a_2,···,a_n) (a1,a2,,an)被称作向量,分量数称为向量的维数,向量可以写作行,称为行向量,如 ( a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n ) (a_1,a_2,···,a_n) (a1,a2,,an);向量写作列,称为列向量,如 ( a 1 a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n ) \left(\begin{matrix}a_1\\a_2\\···\\a_n\end{matrix}\right) a1a2an,本质上没有区别,但是形式上有区别。
零向量: 分量都是零的向量称为零向量

向量的运算规律

两个***同维向量***的分量都相等,我们称这两个向量相等。

两个同维向量相加(相减)就是分别将每个分量相加(相减)

向量的数乘就是用数分别乘以每个分量

向量的线性关系

线性组合

β , α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α n β,α_1,α_2,···,α_n β,α1,α2,,αn m m m维向量,若存在 k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , k n k_1,k_2,···,k_n k1,k2,,kn,使得
β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k n α n β=k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n β=k1α1+k2α2++knαn成立,则称 β β β α α α向量组的线性组合或者 β β β α α α向量组的线性表示, k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , k n k_1,k_2,···,k_n k1,k2,,kn称为组合系数。

性质

  1. 零向量可由任意向量组表示
  2. 向量组中任取一个向量可由该向量组表示
  3. 任意向量均可由 ε 1 = ( 1 , 0 , ⋅ ⋅ ⋅ , 0 ) , ε 2 = ( 0 , 1 , 0 , ⋅ ⋅ ⋅ , 0 ) , ⋅ ⋅ ⋅ , ε n = ( 0 , 0 , ⋅ ⋅ ⋅ , 0 , 1 ) ε_1=(1,0,···,0),ε_2=(0,1,0,···,0),···,ε_n=(0,0,···,0,1) ε1=(1,0,,0),ε2=(0,1,0,,0),,εn=(0,0,,0,1)表示

向量组的等价

两个同维向量组可以相互线性表示,则称这两个向量组等价

  1. 反身性:一个向量组和自己是等价的
  2. 对称性:一个向量组 A A A和另一个向量组 B B B是等价的,那么向量组 B B B和向量组 A A A也是等价的
  3. 传递性:如果向量组 A A A和向量组 B B B等价,向量组 B B B和向量组 C C C是等价的,那么向量组 A A A和向量组 C C C也是等价的

线性相关与线性无关

如果 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α n α_1,α_2,···,α_n α1,α2,,αn n n n m m m维向量,若存在一组不全为 0 0 0 k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , k n k_1,k_2,···,k_n k1,k2,,kn使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k n α n = 0 k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n=0 k1α1+k2α2++knαn=0,则认为 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α n α_1,α_2,···,α_n α1,α2,,αn线性相关
线性无关:

  1. 不是线性相关
  2. 找不到一组不全为0的 k 1 − k n k_1-k_n k1kn使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k n α n = 0 k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n=0 k1α1+k2α2++knαn=0成立
  3. k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k n α n = 0 k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n=0 k1α1+k2α2++knαn=0成立时, k 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , k n k_1,···,k_n k1,,kn必全为 0 0 0

结论

  1. 向量组中两个向量成比例,那么这个向量组是线性相关。
  2. 含有零向量 的任意向量组必线性相关。
  3. 一个零向量 必线性相关
  4. 一个非零向量 必线性无关
  5. 一个向量 α α α线性相关的充要条件是 α = 0 α=0 α=0
  6. 如果 α 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,···,α_r α1,,αr线性相关,那么 α 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r , α r + 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , α s α_1,···,α_r,α_{r+1},···,α_s α1,,αr,αr+1,,αs线性相关即***部分组线性相关,整体组线性相关***,推论是***整体组线性无关,部分组也线性无关***
  7. 如果 α 1 = ( α 11 ⋅ ⋅ ⋅ α 1 r ) α_1=(α_{11}···α_{1r}) α1=(α11α1r), α 2 = ( α 21 ⋅ ⋅ ⋅ α 2 r ) α_2=(α_{21}···α_{2r}) α2=(α21α2r), ⋅ ⋅ ⋅ ··· , α m = ( α m 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ α m r ) α_m=(α_{m1}····α_{mr}) αm=(αm1αmr)是线性无关的,那么 γ 1 = ( α 11 ⋅ ⋅ ⋅ α 1 r α 1 r + 1 ⋅ ⋅ ⋅ α 1 n ) γ_1=(α_{11}···α_{1r}α_{1{r+1}}···α_{1n}) γ1=(α11α1rα1r+1α1n), γ 2 = ( α 21 ⋅ ⋅ ⋅ α 2 r α 2 r + 1 ⋅ ⋅ ⋅ α 2 n ) γ_2=(α_{21}···α_{2r}α_{2{r+1}}···α_{2n}) γ2=(α21α2rα2r+1α2n), ⋅ ⋅ ⋅ ··· , γ m = ( α m 1 ⋅ ⋅ ⋅ α m r α m r + 1 ⋅ ⋅ ⋅ α m n ) γ_m=(α_{m1}···α_{mr}α_{m{r+1}}···α_{mn}) γm=(αm1αmrαmr+1αmn)也是线性无关。即***线性无关的向量组,每个向量增加几个分量组成的新的向量组(接长向量组)也是线性无关的***,逆否命题:一个线性相关的向量组每个向量去掉几个分量组成的新的向量组(截短向量组)也是线性相关的
  8. n n n n n n维向量( n n n维向量:向量的个数=向量的维数)构成的行列式 D ≠ 0 D\neq0 D=0,那么这 n n n n n n位向量线性无关,相反的, D = 0 D=0 D=0时,他们线性相关。
  9. n n n为单维向量组, ε 1 ⋅ ⋅ ⋅ ε n ε_1···ε_n ε1εn线性无关

定理

  1. α 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , α s α_1,···,α_s α1,,αs线性相关的充要条件是至少一个向量可由其余向量表示
  2. 如果 α 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , α s α_1,···,α_s α1,,αs线性无关, α 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , α s , β α_1,···,α_s,β α1,,αs,β线性相关,那么 β β β可由 α 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , α s α_1,···,α_s α1,,αs唯一线性表示
  3. 替换 α 1 … α s \alpha_1\dots\alpha_s α1αs可由 β 1 … β t \beta_1\dots\beta_t β1βt线性表示,则 s ≤ t s\leq t st,逆否命题: α 1 … α s \alpha_1\dots\alpha_s α1αs可由 β 1 … β t \beta_1\dots\beta_t β1βt线性表示,如果 s > t s>t s>t,那么 α 1 … α s \alpha_1\dots\alpha_s α1αs线性相关

推论

  1. 如果 m > n m>n m>n,那么 m m m n n n维向量线性相关。
  2. 两个等价的线性无关的向量组含向量的个数是相同的。

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