线性代数——向量1
向量(vector)
向量: n n n个数 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n a_1,a_2,···,a_n a1,a2,⋅⋅⋅,an组成的有序数组 ( a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n ) (a_1,a_2,···,a_n) (a1,a2,⋅⋅⋅,an)被称作向量,分量数称为向量的维数,向量可以写作行，称为行向量，如 ( a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n ) (a_1,a_2,···,a_n) (a1,a2,⋅⋅⋅,an)；向量写作列，称为列向量，如 ( a 1 a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n ) \left(\begin{matrix}a_1\\a_2\\···\\a_n\end{matrix}\right) ⎝⎜⎜⎛a1a2⋅⋅⋅an⎠⎟⎟⎞,本质上没有区别，但是形式上有区别。
零向量: 分量都是零的向量称为零向量。
向量的运算规律
两个***同维向量***的分量都相等，我们称这两个向量相等。
两个同维向量相加(相减)就是分别将每个分量相加(相减)
向量的数乘就是用数分别乘以每个分量
向量的线性关系
线性组合
β , α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α n β,α_1,α_2,···,α_n β,α1,α2,⋅⋅⋅,αn是 m m m维向量,若存在 k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , k n k_1,k_2,···,k_n k1,k2,⋅⋅⋅,kn,使得
β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k n α n β=k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n β=k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+knαn成立，则称 β β β是 α α α向量组的线性组合或者 β β β是 α α α向量组的线性表示, k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , k n k_1,k_2,···,k_n k1,k2,⋅⋅⋅,kn称为组合系数。
性质
- 零向量可由任意向量组表示
- 向量组中任取一个向量可由该向量组表示
- 任意向量均可由 ε 1 = ( 1 , 0 , ⋅ ⋅ ⋅ , 0 ) , ε 2 = ( 0 , 1 , 0 , ⋅ ⋅ ⋅ , 0 ) , ⋅ ⋅ ⋅ , ε n = ( 0 , 0 , ⋅ ⋅ ⋅ , 0 , 1 ) ε_1=(1,0,···,0),ε_2=(0,1,0,···,0),···,ε_n=(0,0,···,0,1) ε1=(1,0,⋅⋅⋅,0),ε2=(0,1,0,⋅⋅⋅,0),⋅⋅⋅,εn=(0,0,⋅⋅⋅,0,1)表示
向量组的等价
两个同维向量组可以相互线性表示，则称这两个向量组等价
- 反身性:一个向量组和自己是等价的
- 对称性:一个向量组 A A A和另一个向量组 B B B是等价的，那么向量组 B B B和向量组 A A A也是等价的
- 传递性:如果向量组 A A A和向量组 B B B等价，向量组 B B B和向量组 C C C是等价的，那么向量组 A A A和向量组 C C C也是等价的
线性相关与线性无关
如果 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α n α_1,α_2,···,α_n α1,α2,⋅⋅⋅,αn是 n n n个 m m m维向量，若存在一组不全为 0 0 0的 k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , k n k_1,k_2,···,k_n k1,k2,⋅⋅⋅,kn使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k n α n = 0 k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n=0 k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+knαn=0，则认为 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , α n α_1,α_2,···,α_n α1,α2,⋅⋅⋅,αn是线性相关。
线性无关:
- 不是线性相关
- 找不到一组不全为0的 k 1 − k n k_1-k_n k1−kn使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k n α n = 0 k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n=0 k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+knαn=0成立
- k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k n α n = 0 k_1α_1+k_2α_2+···+k_nα_n=0 k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+knαn=0成立时， k 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , k n k_1,···,k_n k1,⋅⋅⋅,kn必全为 0 0 0
结论
- 向量组中两个向量成比例，那么这个向量组是线性相关。
- 含有零向量 的任意向量组必线性相关。
- 一个零向量 必线性相关
- 一个非零向量 必线性无关
- 一个向量 α α α线性相关的充要条件是 α = 0 α=0 α=0
- 如果 α 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r α_1,···,α_r α1,⋅⋅⋅,αr线性相关，那么 α 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , α r , α r + 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , α s α_1,···,α_r,α_{r+1},···,α_s α1,⋅⋅⋅,αr,αr+1,⋅⋅⋅,αs线性相关即***部分组线性相关，整体组线性相关***，推论是***整体组线性无关，部分组也线性无关***
- 如果 α 1 = ( α 11 ⋅ ⋅ ⋅ α 1 r ) α_1=(α_{11}···α_{1r}) α1=(α11⋅⋅⋅α1r), α 2 = ( α 21 ⋅ ⋅ ⋅ α 2 r ) α_2=(α_{21}···α_{2r}) α2=(α21⋅⋅⋅α2r), ⋅ ⋅ ⋅ ··· ⋅⋅⋅, α m = ( α m 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ α m r ) α_m=(α_{m1}····α_{mr}) αm=(αm1⋅⋅⋅⋅αmr)是线性无关的，那么 γ 1 = ( α 11 ⋅ ⋅ ⋅ α 1 r α 1 r + 1 ⋅ ⋅ ⋅ α 1 n ) γ_1=(α_{11}···α_{1r}α_{1{r+1}}···α_{1n}) γ1=(α11⋅⋅⋅α1rα1r+1⋅⋅⋅α1n), γ 2 = ( α 21 ⋅ ⋅ ⋅ α 2 r α 2 r + 1 ⋅ ⋅ ⋅ α 2 n ) γ_2=(α_{21}···α_{2r}α_{2{r+1}}···α_{2n}) γ2=(α21⋅⋅⋅α2rα2r+1⋅⋅⋅α2n), ⋅ ⋅ ⋅ ··· ⋅⋅⋅, γ m = ( α m 1 ⋅ ⋅ ⋅ α m r α m r + 1 ⋅ ⋅ ⋅ α m n ) γ_m=(α_{m1}···α_{mr}α_{m{r+1}}···α_{mn}) γm=(αm1⋅⋅⋅αmrαmr+1⋅⋅⋅αmn)也是线性无关。即***线性无关的向量组，每个向量增加几个分量组成的新的向量组(接长向量组)也是线性无关的***，逆否命题：一个线性相关的向量组每个向量去掉几个分量组成的新的向量组(截短向量组)也是线性相关的
- n n n个 n n n维向量( n n n维向量:向量的个数=向量的维数)构成的行列式 D ≠ 0 D\neq0 D=0，那么这 n n n个 n n n位向量线性无关，相反的， D = 0 D=0 D=0时，他们线性相关。
- n n n为单维向量组, ε 1 ⋅ ⋅ ⋅ ε n ε_1···ε_n ε1⋅⋅⋅εn线性无关
定理
- α 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , α s α_1,···,α_s α1,⋅⋅⋅,αs线性相关的充要条件是至少一个向量可由其余向量表示
- 如果 α 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , α s α_1,···,α_s α1,⋅⋅⋅,αs线性无关， α 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , α s , β α_1,···,α_s,β α1,⋅⋅⋅,αs,β线性相关，那么 β β β可由 α 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , α s α_1,···,α_s α1,⋅⋅⋅,αs唯一线性表示
- 替换 α 1 … α s \alpha_1\dots\alpha_s α1…αs可由 β 1 … β t \beta_1\dots\beta_t β1…βt线性表示，则 s ≤ t s\leq t s≤t，逆否命题: α 1 … α s \alpha_1\dots\alpha_s α1…αs可由 β 1 … β t \beta_1\dots\beta_t β1…βt线性表示，如果 s > t s>t s>t，那么 α 1 … α s \alpha_1\dots\alpha_s α1…αs线性相关
推论
- 如果 m > n m>n m>n，那么 m m m个 n n n维向量线性相关。
- 两个等价的线性无关的向量组含向量的个数是相同的。
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