统计学习方法 k近邻法

k近邻法

分类问题中的k近邻法。
分类时，对于新的实例，根据已有的k个最近邻的训练实例的类别，通过多数表决方式进行预测其所属的类。
k值的选择、距离度量以及分类决策规则是k近邻法的三个基本要素。
k近邻法没有显示的学习过程。

k近邻模型

模型

特征空间中，对每个训练实例点 xi x i ，距离该点比其他点更近的所有点组组成的一个区域，叫做单元（cell）。每个训练实例点拥有一个单元。所有训练实例点的单元构成对特征空间的一个划分。最近邻法将实例 xi x i 的类 yi y i 作为单元中所有点的类标记（class label）。

距离度量

距离是两个实例点相似程度的反映。
xi,yj的Lp x i , y j 的 L p 距离定义为：

Lp(xi,yj)=(∑l+1n|x(l)i−x(l)j|p)1p L p ( x i , y j ) = ( ∑ l + 1 n | x i ( l ) − x j ( l ) | p ) 1 p

这里p>=1。当p=2，为欧氏距离;p=1时，为曼哈顿距离;p= ∞ ∞ 时，为各个坐标距离的最大值。

k值的选择

k值的选择会对结果有重大影响。

k值小=>与输入实例较近的实例才会对预测结果起作用.整体模型变得容易，容易产生过拟合。

k值大=>用较大的训练实例进行预测。k值增大意味着整体模型变得简单。

在应用中，k值一般取一个较小的值。通常采用交叉验证法来选取最优的k值。

分类决策规则

多数表决规则等价于经验风险最小化。

k近邻法的实现：kd树

kd树是一个二叉树，表示对k维空间的一个划分(partition)。构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将k维空间切分，构成一系列的k维超矩形区域。

构造kd树的算法：
（1）开始：构造根节点，根节点对应于包含数据集的k维空间的超矩形区域。

切分：选择 x(1) x ( 1 ) 为坐标轴，选择其中位数为切割点，将根节点对应的超矩形区域切分为2个子区域。
由根节点切分为2个深度为1的的左右子节点.

（2）重复：对深度为j的子节点，继续按照步骤（1）的方法切分。由该节点生成深度为j的两个左右子节点。

（3）结束：继续切分至两个子区域没有实例时为止。

kd树的搜索

kd树按某个维度的中位数进行切割的话，类似于搜索二叉树。可以按照搜索二叉树的方法来进行搜索。
其时间复杂度为O(N)=lg(N)，最差场景为线性时间复杂度。