05 树

05 树

定义

1. 度：结点拥有的子树数称为结点的度（Degree）

2. 孩子：结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），相应的，该结点称为孩子的双亲（Parent）

3. 兄弟：同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling）

4. 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点

5. 子孙：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙

6. 结点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的孩子为第二层

7. 堂兄弟：双亲在同一层的结点互为堂兄弟

8. 深度：树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度

9. 有序树：如果将树中结点的各子树看成从左到右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

10. 森林：森林（Forest）是m（m>=0）棵互不相交的树的集合

    ADT 树(Tree)
    	Data
    		树是由一个根结点和若干棵子树构成。树中结点具有相同数据类型及层次关系。
    	Operation
    		InitTree(*T):构造空树T.
    		DestroyTree(*T):销毁树T.
    		CreateTree(*T,definition):按difinition中给出树的定义来构造树。
    		ClearTree(*T):若树T存在，则将树T清为空树。
    		TreeEmpty(T):若T为空树，返回true，否则返回false.
    		TreeDepth(T):返回T的深度。
    		Root(T):返回T的根结点。
    		Value(T,cur_e):cur_e是树T中的一个结点，返回此结点的值。
    		Assign(T,cur_e,value):给树T的结点cur_e赋值为value.
    		Parent(T,cur_e):若cur_e是树的非根结点，则返回它的双亲，否则返回空。
    		LeftChild(T,cur_e):若cur_e是树的非叶结点，则返回它的最左孩子，否则返回空。
    		RightSibling(T,cur_e):若cur_e有右兄弟，则返回它的右兄弟，否则返回空。
    		InsertChild(*T,*p,i,c):其中p指向树的某个结点，i为所指结点p的度加上1，非空树c与T不相交，操作结果为插入c为树T中p指结点的第i棵子树。
    		DeleteChild(*T,*p,i):其中p指向树T的某个结点，i为所指结点的p的度，操作结果为删除T中p所指结点的第i棵子树。
    endADT
    

存储结构

1. 双亲表示法

我们假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置

2. 孩子表示法

把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中。

3. 孩子兄弟表示法

任意一棵树，它的节点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

二叉树

1. 定义

二叉树（Binary Tree）是n（n>=0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

2. 特点

3. 特殊二叉树

   1. 斜树：

   所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

   2. 满二叉树

   在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

   3. 完全二叉树

   对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1<=i<=n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

4. 5个性质

   1. 二叉树性质1

   在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点（i>=1）

   2. 二叉树性质2

   深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k>=1）

   3. 二叉树性质3

   对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀=n₂+1

   4. 二叉树性质4

   具有n个结点的完全二叉树的深度为[log₂n] +1([x]表示不大于x的最大整数)

   5. 二叉树性质5

   如果一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为[log₂n] + 1）的结点按层序编号（从第1层到第[log₂n]+1层，每层从左到右），对任一结点i（1<=i<=n）有：
   1 . 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点[i/2]。
   2 . 如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。
   3 . 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。

5. 顺序存储结构
   顺序存储结构一般只用于完全二叉树

6. 链式存储结构（二叉链表）

   二叉树每个结点最多有两个孩子，所以为它设计一个数据域和两个指针域是比较自然的想法，我们称这样的链表叫做二叉链表。

    typedef struct BiTNode  /* 结点结构 */
    {
       TElemType data;		/* 结点数据 */
       struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */
    }BiTNode,*BiTree;
   

7. 遍历二叉树

   1. 原理

      二叉树的遍历（traversing binary tree）是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问依次且仅被访问一次

   2. 二叉树遍历的方法

      1. 前序遍历

         规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。ABDGHCEIF

         

      2. 中序遍历

         规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。GDHBAEICF

         

      3. 后序遍历

         规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。GHDBIEFCA

         

   3. 前序遍历算法

       /* 初始条件: 二叉树T存在 */
       /* 操作结果: 前序递归遍历T */
       void PreOrderTraverse(BiTree T)
       { 
       	if(T==NULL)
       		return;
       	printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
       	PreOrderTraverse(T->lchild); /* 再先序遍历左子树 */
       	PreOrderTraverse(T->rchild); /* 最后先序遍历右子树 */
       }
      

   4. 中序遍历算法

       /* 初始条件: 二叉树T存在 */
       /* 操作结果: 中序递归遍历T */
       void InOrderTraverse(BiTree T)
       { 
       	if(T==NULL)
       		return;
       	InOrderTraverse(T->lchild); /* 中序遍历左子树 */
       	printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
       	InOrderTraverse(T->rchild); /* 最后中序遍历右子树 */
       }
      

   5. 后序遍历算法

       /* 初始条件: 二叉树T存在 */
       /* 操作结果: 后序递归遍历T */
       void PostOrderTraverse(BiTree T)
       {
       	if(T==NULL)
       		return;
       	PostOrderTraverse(T->lchild); /* 先后序遍历左子树  */
       	PostOrderTraverse(T->rchild); /* 再后序遍历右子树  */
       	printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
       }
      

   6. 推导遍历结构

      1. 已知前序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树
      2. 已知后序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树
      3. 注意：已知前序和后序遍历，是不能确定一棵二叉树的。

8. 二叉树的建立
   和遍历二叉树差不多，以下是使用前序遍历的方式来创建二叉树

    /* 按前序输入二叉树中结点的值（一个字符） */
    /* #表示空树，构造二叉链表表示二叉树T。 */
    void CreateBiTree(BiTree *T)
    { 
    	TElemType ch;
    	
    	/* scanf("%c",&ch); */
    	ch=str[index++];
    
    	if(ch=='#') 
    		*T=NULL;
    	else
    	{
    		*T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
    		if(!*T)
    			exit(OVERFLOW);
    		(*T)->data=ch; /* 生成根结点 */
    		CreateBiTree(&(*T)->lchild); /* 构造左子树 */
    		CreateBiTree(&(*T)->rchild); /* 构造右子树 */
    	}
     }
   

9. 线索二叉树

   1. 原理

      指向前驱和后继的指针称为线索，加上线索的二叉树链表称为线索链表，相应的二叉树就称为线索二叉树（Threaded Binary Tree），其实线索二叉树，等于是把一棵二叉树变为一个双向链表。

   2. 线索二叉树结构实现

       typedef enum {Link,Thread} PointerTag;	/* Link==0表示指向左右孩子指针, */
       										/* Thread==1表示指向前驱或后继的线索 */
       typedef  struct BiThrNode	/* 二叉线索存储结点结构 */
       {
       	TElemType data;	/* 结点数据 */
       	struct BiThrNode *lchild, *rchild;	/* 左右孩子指针 */
       	PointerTag LTag;
       	PointerTag RTag;		/* 左右标志 */
       } BiThrNode, *BiThrTree;
      

   3. 中序遍历线索化的递归函数代码如下

       BiThrTree pre; /* 全局变量,始终指向刚刚访问过的结点 */
       /* 中序遍历进行中序线索化 */
       void InThreading(BiThrTree p)
       { 
       	if(p)
       	{
       		InThreading(p->lchild); /* 递归左子树线索化 */
       		if(!p->lchild) /* 没有左孩子 */
       		{
       			p->LTag=Thread; /* 前驱线索 */
       			p->lchild=pre; /* 左孩子指针指向前驱 */
       		}
       		if(!pre->rchild) /* 前驱没有右孩子 */
       		{
       			pre->RTag=Thread; /* 后继线索 */
       			pre->rchild=p; /* 前驱右孩子指针指向后继(当前结点p) */
       		}
       		pre=p; /* 保持pre指向p的前驱 */
       		InThreading(p->rchild); /* 递归右子树线索化 */
       	}
       }
      

   4. 遍历代码：

       /* 中序遍历二叉线索树T(头结点)的非递归算法 */
       Status InOrderTraverse_Thr(BiThrTree T)
       { 
       	BiThrTree p;
       	p=T->lchild; /* p指向根结点 */
       	while(p!=T)
       	{ /* 空树或遍历结束时,p==T */
       		while(p->LTag==Link)
       			p=p->lchild;
       		if(!visit(p->data)) /* 访问其左子树为空的结点 */
       			return ERROR;
       		while(p->RTag==Thread&&p->rchild!=T)
       		{
       			p=p->rchild;
       			visit(p->data); /* 访问后继结点 */
       		}
       		p=p->rchild;
       	}
       	return OK;
       }
      

10. 树、森林与二叉树的转换

    1. 树转为二叉树

       步骤
       1 . 加线。在所有兄弟结点之间加一条连线
       2 . 去线。对树中每个结点，只保留它与第一个孩子结点的连线，删除它与其他孩子结点之间的连线。
       3 . 层次调整。以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针旋转一定角度，使之结构层次分明。注意第一个孩子是二叉树结点的左孩子，兄弟转换过来的孩子是结点的右孩子。

    2. 森林转为二叉树

       步骤
       1 . 把每个树转换成为二叉树
       2 . 第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树的根结点的右孩子，用线连起来。当所有的二叉树连接起来后就得到了由森林转换来的二叉树。

    3. 二叉树转为树

       步骤
       1 . 加线。若某结点的左孩子结点存在，则将这个左孩子的右孩子结点、右孩子的右孩子结点、右孩子的右孩子的右孩子结点。。。。反正就是左孩子的n个右孩子结点都作为此结点的孩子。将该结点与这些右孩子结点用线连接起来。
       2 . 去线。删除原二叉树中所有结点与其右孩子结点的连线
       3 . 层次调整。使之结构层次分明。

    4. 二叉树转换为森林
       判断一棵二叉树能够转换成一棵树还是森林，标准很简单，那就是只要看这棵二叉树的根结点有没有右孩子，有就是森林，没有就是一个树。

       步骤
       1 . 从根结点开始，若右孩子存在，则把与右孩子结点的连线删除，再查看分离后的二叉树，若右孩子存在，则连线删除。。。，直到所有右孩子连线都删除为止，得到分离的二叉树。
       2 . 再将每棵分离后的二叉树转换为树即可。

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