数学物理方法 04 解析延拓

第四章解析延拓⋅Γ函数 

4.0.1解析延拓 

1.解析延拓定义 
设f 1 (z)在区域σ 1 中解析,若f 2 (z)在另一与区域σ 1 有重叠部分σ 12 的区域σ 2 中解析,且在σ 12 中f 2 (z)≡f 1 (z),则称f 2 (z)为f 1 (z)在σ 2 中的解析延拓.同样,亦称f 1 (z)为f 2 (z)在σ 1 中的解析延拓. 
例如:f 1 (z)=∑ k=0 ∞ z k ,|z|<1;f 2 (z)=11−z ,z≠1 
|z|<1:f 1 (z)≡f 2 (z) 
简单地说,解析延拓,就是把已知区域内解析的函数推广到更大的区域上去.或者说解析延拓就是将解析函数的定义域加以扩大. 

1.解析延拓的方法−−泰勒展开 
例:f 1 (z)=∑ k=0 ∞ z k ,|z|<1,f 1 (z)∈H(σ 1 :|z|<1) 
记f 2 (z)=∑ k=0 ∞ f (k) 1 (i2 )k! (z−i2 ) k =∑ k=0 ∞ 1(z−i2 ) k+1  (z−i2 ) k  
R=|1−i2 |=5  √ 2  
则f 2 (z)∈H(σ 2 :|z−i2 |<5  √ 2 ) 

3.解析延拓的内唯一性定理 
设f 1 (z)和f 2 (z)在区域G中均解析,若在G的任一子区域g中f 1 (z)≡f 2 (z),则在整个区域G中必有f 1 (z)≡f 2 (z). 
由此可见,解析函数e z ,sinz,cosz等分别由实函数e x ,sinx,cosx等唯一确定.换句话说,只要这些函数是解析的,而且在实轴上取值e x ,sinx,cosx等,那么这些函数在整个复平面上便只能如1.4节那样所定义. 
由此定理还可推知,我们熟知的各种初等函数的等式,在复变函数中也均成立. 
例如:sin2x=2sinxcosx→sin2z=2sinzcosz 
因为sin2z和2sinzcosz都是解析函数,而且它们在实轴上相等. 

4.0.2Γ函数 

1.Γ函数的定义 
Γ(z)=∫ ∞ 0 e −t t z−1 dtRez>0 

2.Γ函数的基本性质 
(1)Γ(1)=1 
(2)Γ(z+1)=zΓ(z) 
(3)Γ(n+1)=n!n=0,1,2⋯ 
(4)Γ(z)Γ(1−z)=π/sinπz 
(5)Γ(1/2)=π  √  

3.Γ函数的解析性 
(1)定义:在有限区域中除极点外别无其它奇点的函数称为半纯函数. 
(2)Γ函数是半纯函数 
(3)Γ函数在平面除z=0,−1,−2,⋯,−n,⋯这些一阶极点之外处处解析. 

4.0.3B函数 

1.B函数的定义 
B(p,q)=∫ 1 0 t p−1 (1−t) q−1 dtRep>0,Req>0 

2.B函数的性质 
(1)B(p,q)=2∫ π2  0 sin 2p−1 φcos 2q−1 φdφ(令t=sin 2 φ) 
(2)B(p,q)=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)  
(3)B(p,q)=B(q,p)