零基础了解Https - 前导知识(RSA)(2)

上面的前导知识简要介绍了一下tcp，现在开始应用层协议部分前导知识介绍。

Https 全称是Http over SSL，因此Https是建立在Http的基础上，加了一层安全套接层。Https既然被称为安全的Http协议，怎么实现安全的，那就是加密算法。

加密方法有三种方法：

1.摘要算法：常用的有MD5、SHA，这种加密方式是不可逆的，没法解密，很多网站的用户名和密码就这么干的，比如用MD5加密之后保存在数据库，用户输入用户名和密码提交，再通过MD5加密之后，和数据库保存数据匹配。前几年出现了一些用户名密码泄露事件，当某些网站采用明文保存用户名和密码被泄露出来之后，立马有人把这些数据拿到其他网站去撞库。安全性方面不一定很好。

2.对称加密：通过同一个秘钥加密和解密，典型的是凯撒加密，比如ABCD加密之后变成BCDE，很容易知道是加了1，优点是运算快速，缺点是只有一个秘钥泄露，通信双方都不再安全。

3.非对称加密：最大的特点是通信双方的秘钥都不一样，加密的秘钥只能加密不能解密，只有解密者的秘钥可以解密。最典型的是RSA算法，几乎是现在互联网安全的基石，RSA是其发明人Ron Rivest、Adi Shamir、Leonard Adleman的名字取首字母组合起来的。

下面重点介绍一下RSA算法原理

RSA算法

在RSA诞生之前，也就是1976年之前，加密和解密使用的是同一种规则。

1.甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密；

2.乙方使用同一种规则，对信息进行解密。

虽然理论上，只要加解密“规则”（即“密钥”）足够复杂，这种方式也可安全的传递信息，但这种方法最大的弱点就是，密钥在传递的过程中易被泄露。这种加密方式也就是前面提到的对称加密算法。

倘若在加解密信息的过程中，能让加密密钥（公钥）与解密密钥（私钥）不同，即

1.甲要传密信给乙，乙先根据某种算法得出本次与甲通信的公钥与私钥；

2.乙将公钥传给甲（公钥可以让任何人知道，即使泄露也没有任何关系）；

3.甲使用乙传给的公钥加密要发送的信息原文m，发送给乙密文c；

4.乙使用自己的私钥解密密文c，得到信息原文m .

这种新的加密方式就是非对称加密算法。

RSA算法涉及到的数学概念挺多的，过程也挺复杂的，下面简单介绍一下：

质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为质数（素数）

互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。

判断互质数的定理很多，这里只取需要用到的两条

1.任意两个质数一定构成互质数（如3与11、53与61）；

2.大数是质数的两个数一定是互质数（如97与88）；

模运算

让m去被n整除，只取所得的余数作为结果，就叫做模运算。

同余

给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能被m整除，即(a-b)mod m=0，

那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)，同时可成立a mod m=b

欧拉函数

任意给定正整数n，计算在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？

计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示.

比如，在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以φ(n)=4，在一些概念中也会提到简化剩余系，欧拉函数推到的过程中会用到，有兴趣可以搜索一下欧拉函数的推导过程，推荐搜索别人视频，自己看，可能会有点困难。

在RSA算法中，我们需要明白欧拉函数对以下定理成立

1.如果n可以分解成两个互质的整数之积，即n=p×q，则有：φ(n)=φ(pq)=φ(p)φ(q);

2.根据“大数是质数的两个数一定是互质数”可以知道：

一个数如果是质数，则小于它的所有正整数与它都是互质数；

所以如果一个数p是质数，则有：φ(p)=p-1

所谓“大数”，也就是较大的那个数。

由上易得，若我们知道一个数n可以分解为两个质数p和q的乘积，则有

φ(n)=(p-1)(q-1)

欧拉定理

如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的等式成立：

a^φ(n) ≡ 1(mod n)

模反元素

根据欧拉定理，有：

a^φ(n) = a × a^(φ(n)−1) ≡ 1(mod n)

令b = a^φ(n)-1，得：

ab ≡ 1(mod n)

b就是a的模反元素

意即，如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b

使得ab-1被n整除，或者说ab被n除的余数是1

给个真实的例子

根据以上介绍的定义和数学知识

先来看一个真实的例子加深印象

假设甲要发送一串秘密数字m=65给乙

乙发送了一个公钥(n,e)=(3233,17)给甲

甲根据以下公式及公钥对密文m加密成c

m^e ≡ c(mod n)

代入得

c=m^e mod n=6517 mod 3233 = 2790

甲将使用公钥加密的密文c=2790发送给乙

乙收到c=2790的密文后，使用私钥(n,d)=(3233,2753)根据以下公式进行解密

c^d = m(mod n)

代入得

m = c^d mod n= 27902753 mod 3233=65

乙使用与公钥不同的私钥成功计算出密文m，发现了吗？

从始至终，用来解密的私钥(n,d)=(3233,2753)一直都在乙处，从未泄露

乙给甲的仅仅是用来加密的公钥(3233,17)

这个公钥并不能用来解密，即使被他人截获，也没有任何泄密的风险

那么，乙是如何计算出给甲的公钥(3233,17)和私钥(3233,2753)的呢？

计算密钥 , 根据以上“真实的例子”,看看乙是如何计算密钥（公钥和私钥）的

随机选择两个不相等的质数p和q（乙选择了61和53）

计算p和q的乘积n=p×q=61×53=3233

根据本文“欧拉函数”介绍过的公式

φ(n)=(p-1)(q-1)

代入计算n的欧拉函数值

φ(3233)=(61-1)×(53-1)=60×52=3120

随机选择一个整数e，条件是1

密钥组成与加解密公式

公钥KU	n：质数p和质数q的乘积（p和q必须保密） e：与(p-1)×(q-1)互质
私钥KR	n：同公钥n d：e^-1(mod(p-1)(q-1))
加密	c = m^e mod n
解密	m = c^d mod n

加密公式

m^e ≡ c (mod n)

这里的c就是我们的密文。

解密公式

c^d ≡ m (mod n)

我们会很奇怪，为什么通过这两个公式可以刚好加密和解密呢

公式证明

我们的加密公式是：
m^e ≡ c (mod n)
我们的解密公式是：
c^d ≡ m (mod n)
根据上面的规则，c可以这么表达：
c = m^e - kn
把c代入我们的解密方程：
(m^e - kn)^d ≡ m (mod n)
因为这是一个同余等式，等号左边加减n都不会影响等式，所以我们可以把等式简化为
m^ed ≡ m (mod n)
当我们在求d的时候有同余等式：
ed ≡ 1 (mod φ(n))
这个等式也可以写成这个样子：
ed = h * φ(n) + 1
代入刚刚简化后的等式：
m^(hφ(n)+1) ≡ m (mod n)
到这里，只要我们能够证明这个等式是成立的，那么就能够证明我们的加密和解密公式是成立的，这里就有两种情况了：
m和n是互质的关系
欧拉定理：如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立：
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
我们把m和n代入公式可以得到：
m^φ(n) ≡ 1 (mod n)
因为m和n互质，那么以下等式依然成立：
(m^φ(n))h * m ≡ m (mod n)
对指数稍微换算一下就能得到我们之前的等式了，m和n互质的情况下，我们很容易就能证明之前的等式成立。
m和n不是互质的关系
首先我们有n = p * q，因为m和n不是互质的，而因为n是两个质数相乘的结果，也就是说p或者q就是m和n的一个公约数，所以有m = p * k，或者m = q * k。假设p是m和n的公约数，那么就有m = p * k。
然后因为p和q都是质数，质数和除了是自己倍数之外的数都互质，又因为m必须小于n，所以这里k取值必然不能是q或者更大的数，所以我们有一个结论是：k必然和q互质。
k * p必然和q互质，把k * p和q代入，所以我们能够得出以下同余等式：
(kp)^φ(q) ≡ 1 (mod q)
因为k * p和q互质，所以可以有：
(kp)^(h * φ(q) + 1) ≡ kp (mod q)
而我们之前已经求出：
ed = h * φ(n) + 1
代入刚刚的式子：
kp^ed ≡ kp (mod q)
假设有t，使得求模运算可以写成：
kp^ed = t * q + k * p
转换一下等式：
kp^(ed - 1) = t * q
因为p和q是互质关系，所以k * p只有当k等于q或者其倍数的时候，才能整除q，但是m = q * k，而且m < n，所以k * p必然是不能整除q的，由此可得p必然能够整除t才能使得等式成立，也就是有：t = t' * p，由此可得如下等式：
kp^ed = t' pq + kp
因为m = kp，而n = pq，所以：
m^ed = t'n + m
写成同余等式可得：
m^ed ≡ m (mod n)
这里就得出了我们刚刚求出的等式。

结论

到这里，我们已经证明了两种情况下等式都是成立了，也就是明文通过公钥加密之后，使用私钥也必然能够得到原本的结果，RSA算法也就成立了。

RSA中的对称性

其实你会发现，RSA里面，公钥加密的东西私钥能够解密，同样的，从公式中发现，私钥加密的东西公钥也能解密，这也是非常重要的一个特性。那么，为什么不能把({n, d})作为公钥给用户呢？因为({n, e})中，n是公开的，e基本都使用常数65537，所以很容易就被猜到了，因此，虽然在算法上都能加密和解密，但是只把({n, e})作为公钥，公钥和私钥有非常严格的区分。

当然非对称加密算法有好几种，这里只介绍RSA。前导知识介绍完了，下面才真正进入Https部分。