陶哲轩对数学学习一些建议

选自一篇公众号总结的tao的博客内容

一、数学不只是分数、考试和解题套路

研究生阶段更需而不是记忆和学习能力或者生搬硬套一些现有的论证和示例。

二、数学不只是严密和证明

通常一个人把天生的直觉给抛弃了，就只能做一些常规数学，用严密解决细节问题，直觉把握整体，严密只是用来剔除错误直觉的。

三、努力

数学上的突破不是只靠天才们的"我发现了"，而是由经验和直觉来指引的大量艰苦工作来推进的。
魔鬼常在细节之中：如果觉得自己理解了数学的某个小分支，应该在阅读相关文献之后，撰写一份关于如何推理、运作的总结来备份，最后写出关于这个主题的完整详细论述。

四、enjoy your job

从事你喜欢的数学领域，而不只是赶时髦。

五、不要急于出名和魅力作为职业决策

一个人在开始的时候花功夫去解决那些简单的（不那么有名）模式问题，获取技巧、直觉、部分结果、内容和文献，便能够有机会解决实际中的大问题，或获得有成效的解决问题的方法，并剔除那些徒劳无功的手法。

六、学习、再学习

干了这一行，就永远不要停下学习的脚步。
面对一个引理的态度：

• 你能发现另一个证明吗
• 你知道为什么某个前提条件是必需的吗
• 哪种概括是已知的/猜测/启发式的
• 有没有更强或更弱的版本可以满足某些应用
• 有哪些例子可以用来说明这个引理作用
• 什么时候用那个引理好，什么时候不好
• 它可以辅助解决哪种问题？不能辅助解决哪些问题
• 在数学的其它领域，有没有类似引理，那个引理可以推广或更广泛的范式和程序吗？

七、不要畏惧学习领域之外的东西

如果有一个领域很活跃，那就值得研究为什么它那么有趣，人们都在试图解决哪种问题，有哪些比较酷或惊奇的洞见和结果，这样的话，如果你在工作中遇到一个类似的问题、障碍和现象，你就知道上哪找解决方法。

八、了解你所使用工具的局限

这样就不会在一个起初就注定废掉的策略上浪费时间，而是去寻找新的工具解决问题，因此，知道一些反例或者容易分析的模型和知道你所用的工具能解决和不能解决的问题同等重要。

九、学习其他数学家所用的工具

听他人说话或阅读论文时，自己感兴趣的问题被不熟悉的工具解决，而这种工具不在你自己的里。
应当看看自己的工具能否完成类似的任务，为什么其他工具如此有效，经过足够多的练习，你就能永久的将那个技能点加入到自己的技能树里。

十、默默问自己，然后回答

不应该害怕问白痴问题，更勇于挑战传统智慧。
如，给一个标准引理，删掉一个假设，会发生什么；又或者试图加强结论，如果一个简单结果通常用方法X证明，可以想用方法Y证明。

十一、质疑自己的工作

证“断言”之前，试着找反例，找到反例将会节省很多时间。