ECC椭圆曲线加密扫盲贴

椭圆曲线密码体制ECC（Elliptic Curve Cryptography）可用短的多的密钥获得同样的安全性，因此具有广泛的应用前景。ECC已被IEEE公钥密码标准P1363采用。

其实我本科的时候是学过椭圆曲线加密的，也用Openssl玩过一段时间，但是经不住时间的摧残，现在已经完全忘记了。这篇博客旨在帮助自己复习，同时给需要的朋友提供一点参考资料

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椭圆曲线方程

椭圆曲线并非椭圆，而是因为其曲线方程和计算椭圆周长的方程类似。一般地，椭圆曲线的曲线方程是以下形式的三次方程：

$$y^2+axy+by=x^3+c{x}^2+dx+e$$
其中$a、b、c、d、e$都是满足某些简单条件的实数。定义包括一个称为无穷远点的元素$O$。椭圆曲线的具体例子如下图所示。
由图可见：椭圆曲线关于x轴对称。
椭圆曲线上的加法定义：如果其上的3个点位于同一直线上，那么它们的和为O.进一步可如下定义椭圆曲线的加法律：
1、O为加法单位元，即对椭圆曲线上的任意一点P，有P+O=P
2、设P=（x,y）是椭圆去线上的一点，他的加法逆元定义为$P_2=-P_1=(x,-y)$
3、设Q和R是椭圆曲线上x坐标不同的两点，Q+R的定义如下：画一条通过Q、R的直线，与椭圆曲线交于$P_1$（这一交点是唯一的，除非所做的直线是Q点或R点的切线，此时分别取$P_1=Q和P_1=R$）。由$Q+R+P_1=O，得Q+R=-P_1$。
4、点Q得倍数定义如下，在点Q做椭圆曲线得一条切线，设切线与椭圆曲线交于S，定义2Q=Q+Q=-S。类似地，可定义3Q=Q+Q+Q，···，等。
以上定义具有加法地一般性质，包括交换律和结合律等。

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有限域上的椭圆曲线

密码学中普遍采用的是有限域上的椭圆曲线，在式1-1中所有系数都是有限域GF§中的元素（p为大素数）。其中最常用的是由方程：
$$y^2=x^3+ax+b(a,b\in GF(p),4a^3+27b^2\ne 0)$$
椭圆曲线$E_p(a,b)$表示系数分别为a,b,p的椭圆曲线方程。
一般而言，$E_p(a,b)$由以下方式产生：
（1）对每一$x（0\le x<p且x为整数）$，计算$x^3+ax+b(modp)$
（2）决定（1）中求得的值在模p下是否有平方根，如果没有，则曲线上没有与这一相对应的点。如果有，则求出两个平方根(y=0时只有一个平方根)。
$E_p(a,b)$上的加法定义如下：
设$P,Q\in E_p(a,b)$,则
（1）P+O=P
（2）如果P=(x,y)，那么（x,y）+(x,-y)=O,即（x,-y）是P的加法逆元，表示为-P