拉普拉斯变换的物理意义是什么？

这个问题要先从一个工程师说起……

英国有一位工程师，名叫Heaviside（此君自学成才，化简了麦克斯韦方程组，提出了电离层假说），他使用了一种叫做“运算算子法”的计算方法来解决电路计算中的一些问题。
电路问题基本上就是微分方程的问题，所以这种方法现在依然用在解常微分方程中，举例来说：

定义算子：


这样一来一个微分方程比如，设r、e是关于t的函数：
r‘’+6r'+5r=e‘+3e
写成算子的形式就是：
(p+1)(p+5)r=(p+3)e [注1]

这样一来就相当于将微分和积分运算化为乘除，把微分方程化为代数方程，简单了很多[注2]，现在常微分方程求解这也是一种常用而且比较简便的方法。
在电路分析中使用这种方法建立系统的数学模型也十分简便，而且电容电感可以写成等效容抗感抗值，之后写回路方程，按照Cramer法则求解即可。


这种方法虽然实用，却受到了数学家的质疑，因为缺少严谨的数学论证，后来人们在Laplace的著作中找见了可靠的依据，这种方法便被称为拉普拉斯变换法。
这种方法在电路的理论分析中的地位相当重要，后来CAD出现计算机也可以进行电路的分析，拉氏变的应用便逐渐减少，但拉氏变换建立起来的系统函数、零极点分析这样的概念却依然很实用：它可以直观的表现系统的输入输出特性。
与电路分析比较类似的还有连续线性是不变系统的分析。

数学和信号系统分析方面要先从Fourier变换说起……

此变换需满足Dirichlet条件[注3]：

而实际中有很多信号不满足狄利克雷条件，无法做出变换。
解决的方法是引入衰减因子 ，使得 满足狄利克雷条件，可以求出傅里叶变换。
这样做的物理意义相当于给一个振荡频率为 且震荡幅度不断增长的信号的幅度做了一个速率为 的衰减，如此一来便满足绝对可积条件。
这样处理扩展了傅里叶变换使用的范围，并且将频域扩展为复频域，拉氏变换相当于在整个复平面上的变换，而傅氏变换仅仅是在这个复平面的虚轴上。
在系统分析中借助于基于拉氏变换的系统函数，可以从极点分布入手分析原信号波形、判断系统稳定性，也可以从零点分布入手分析时域函数的幅度和相位；也可以分析自由响应与强迫响应；更可以分析系统的频响特性[注4]。

倒是有一个自认为很好但很非主流的一个解释，复平面实际上不存在，对实际中能接触到的部分来说：
将C大九和弦一起摁发出的音符分解成 1 3 5 7 2这几个单音的过程实际上就是傅里叶变换，而乐谱则是音乐（时域）在频域上的分布。
把它推广到复平面，就需要拉氏变换了。


——
注1：
即赵博成提到的：“拉普拉斯变换首先是一个数学工具，在求解微分方程的时候起到巧妙的作用。”赵同学讲的基本正确，但缺少拉氏变换在信号系统分析中的应用
注2：
实际上这种使用算子的计算方法是有条件限制的，比如通常来说，消去律不成立。
注3：
周期信号与阶跃信号虽不满足这一条件，但因为冲击函数的存在其傅里叶变换依然存在。
注4：
与拉氏变换方法和概念都很类似的z变换也广泛应用在离散时间系统的分析中。

仔细研读过郑君里的信号与系统，曾经一度达到可以背诵上下两本书的程度。
后又熟读程佩青的数字信号处理，对其中的前八章达到背诵的程度。
最后有熟读奥本海默的信号与系统与离散信号处理两本书，这两本书实在是厚啊，总共1000+页！

楼上很多人都说拉普拉斯变换没有实际的物理意义，相对于傅立叶变换明确的物理意义来说，拉普拉斯变换只是一个算子。

这种说法未免有失偏颇。

首先承认拉普拉斯变换确实起到算子的运用，然而其物理意义长期没有被人发现。

简单的说，大家都认可傅立叶变换的本质是一个信号可以表示成正弦信号的叠加，即无法进行傅立叶变换。
大家如果注意到傅立叶变换与拉普拉斯变换的关系可以发现，当s=jw时，傅拉普拉斯变换便等于傅立叶变换。可见傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例。那么重点来了，如果一个是增长型的，比如e^2t，这个信号指数增长，是无法表示成等幅的正弦信号的叠加的。注意，傅立叶变换的物理意义是一个信号可以表示成等幅的正弦信号的叠加！！
这个等幅的概念有多少人忽略了！！！
那么，推广一下，不等幅的正弦信号（e^at*sint）便出现了！
数学波形是很容易想象的。

回到e^2t的问题，这个信号无法表示成等幅的正弦信号的叠加（傅立叶变换），那么它为何不能表示成增幅的正弦信号的叠加呢？

这就是拉普拉斯变换的物理意义！！！

上面这个信号在拉普拉斯变换中有一个收敛域，s>2.复频域如何表示自行想象。
其意义是啥呢？
因为收敛域包括s=4这条纵轴，这就意味着这个信号可以表示成∑e^4t*sinkwt这种增幅信号的叠加形式。
因为收敛域包括s=5这条纵轴，这就意味着这个信号可以表示成∑e^5t*sinkwt这种增幅信号的叠加形式。
s=6，7，8等等，道理如上。


那么可以发现，在拉普拉斯变换的收敛域内有无数条纵轴，在每一条纵轴上都可以写成一个不等幅正弦信号的叠加。

从这个角度来看，傅立叶变换只不过是s=0纵轴上，信号分解成等幅（特别强调这个等幅概念）正弦信号的叠加。

拉普拉斯变换确实有些明确的物理意义，只不过大多人没发现罢了。

拉普拉斯变换的本质就是矩阵对角化，因为复指数信号是线性系统的特征向量，详情可看《神奇的矩阵第二季》爱上积分变换部分