理解矩阵,与矩阵背后的现实意义
理解矩阵 与矩阵背后的现实意义
由于想对人工智能算法的理解更加深入, 特对于大学时期让我谈之色变的线性代数中的标志性事务--矩阵做了研究.
比起常见的数学知识, 矩阵,这个数学概念真的让我摸不到头脑.
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线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。
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哪呢矩阵到底是个什么东西呢?或者是个什么概念呢?
说矩阵之前, 先说说一个概念,<空间>
空间这个概念是现代数学的基石, 从拓扑空间, 一步步往上加定义, 可以形成很多的空间.线性空间,赋范空间,巴赫空间,内积空间,希尔伯特空间等都是在空间,或空间的基础上的空间加以不同的定义,出现的新的空间.
总之,空间有很多种.若单独的看某种空间的数学定义,大致都"存在一个集,在这个集合定义了某某规则, 然后满足了某些定义",就可以称为空间.
这未免也太奇怪了, 为什么要把集合称为"空间呢"? 其实这个是有道理的.
一般人最熟悉的空间, 就是我们平常生活着的<按照牛顿的绝对时空观>的三维空间,从数学上,这是一个三维的欧几里得空间,
那对比 空间数学 上的空间:
1, 由多个位置点组成:;
2, 这些点之间存在性对的关系;
3,可以在空间中第一长度, 角度;
4, 空间可以容纳运动, 这里的运动是指偶从一个点到另一个点的变换(状态),而不是微积分意义撒花姑娘的'连续'性运动'过程'
上面的空间特性,最关键的是第四条. 第一二条智能说的空间的基础, 不算空间特有的性质, 凡是数学问题,都是一个集合,大多数还在这个集合上定义一些结构,并不是说有了这些就能算是空间. 二第三天太特殊, 其他空间不具备, 更不是关键的性质.
至于第四条是空间的本质, 也就是说, 容纳运动的本质是空间本质的特征.
另一个层面上也就是说, 不管是什么空间, 都必须容纳和支持在其中发生的符合空间规则的运动(变换).比如:拓扑空间的拓扑变换, 线性空间的线性变换, ......
这些变换都只不过是对空间中的符合规则的运动.
所以, <空间>是一个容纳运动的集合, 变换则是空间中的符合规则的运动.
那么矩阵在空间中扮演什么角色呢?
矩阵
矩阵的本质是运动的描述. 向量则是对运动过程的描述.
矩阵--在一个空间的某一对象的运动状态(变换)的描述.即一个矩阵描述的是 当前模一对象在空间中的某一状态,通过向量运动(变换)到当前状态的直观描述.