shiyueyue0822

单变量微积分笔记

根本思想是在趋向极限的过程中，以直代曲

无穷小的来源和无穷小与极限的关系

1. $\varepsilon$ 在极限里的意思是不断缩小的观察范围。不断缩小观察范围，如果提高放大倍数，时间还在观察范围内，这就是收敛的极限。

2. 无穷小/大的不是数，而是函数如数列和函数。

3. 无穷大意味着没有极限。

4. 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)的极限是无穷大，那么 $\frac{1}{f(x)}$ 的极限是无穷小。如果的极限是无穷小，并且 $f(x)\neq 0$ ,那么 $\frac{1}{f(x)}$ 的极限是无穷大

5. 极限的性质分为：唯一，有界，保号。分别描述的是函数在去心邻域内只存在一个极限，在去心邻域内内有界，正负相同。

6. 极限可表示为无穷小的代数 $\\ \underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x) = L \\ f(x) =L+\alpha$ , 其中 $\alpha 为无穷小$ 为无穷小。可以看成差值为无穷小。

7. 无穷小的运算法则：有限个无穷小相加还是无穷小。有界乘于无穷小还是无穷小。

8. 无穷小的分配律：根据6可以推出 $\\ limf(x)\pm g(x)=lim (A+\alpha) \pm (B+\beta) \\ =A\pm B+lim(\alpha \pm \beta ) =A\pm B=limf(x)\pm limg(x)\\ \\ limf(x)g(x)=lim(A+\alpha )(B+\beta ) \\ =lim(AB+\alpha B+\beta A+\alpha \beta )\\ =AB+lim(\alpha B+\beta A+\alpha \beta ) = AB=limf(x)limg(x)\\ \\ B\neq 0\\ lim\frac{f(x)}{g(x)} = lim\frac{A+\alpha}{B+\beta} = \frac{A}{B}+limxx\\=\frac{limf(x)}{limg(x)}$

9.多项式的极限是分母和分子都化成无穷小的函数。

10.复合函数的极限。 $\\ lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=u_{0},lim_{u\rightarrow u_{0}}g(u) = L,\\ x\in U^{\circ}(x_{0},\delta ),g(x)\neq u_{0}\\ lim_{x\rightarrow x_{0}}f(g(x))=L$ ?

$\frac{0}{0}$ 形势的极限

11.8中上下分母都为无穷小（一般为三角函数），那么这时用夹逼定理求极限。在 $x_{0}$ 的去心邻域内， $\\ h(x)<f(x)<g(x),lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=L,lim_{x\rightarrowx_{0}}g(x)=L\\ lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=L$

12. 无穷小的比较比较的是哪个接近0的速度更快，从而分出高阶，同阶，低阶，等价。从而可以进行计算。 $\\ \alpha \sim \alpha_{1}\\ \beta \sim \beta_{1}\\ lim\frac{\alpha}{\beta}=lim\frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}$

趋于无穷的极限 $lim_{x\rightarrow \varpi }(1+\frac{1}{x})^{x}$

13. 单调有界数列/函数有极限

14. $lim_{n\rightarrow \varpi }(1+\frac{1}{n})^{n}$ 单调有界，则有极限，定义其极限为e = 2.74。由夹逼定理可得 $lim_{x\rightarrow \varpi }(1+\frac{1}{x})^{x}$ 的极限也是e。

解决连续

15. 连续的定义：如果一个函数在某个邻域内有定义，并且 $lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) = f(x_{0})$ ，则函数在这一点连续。即：

$f(x_{0}+\Delta x)$ 与 $f(x_{0})$ 之间的距离要多小有多小，没有缝隙的黏在一起。

解决间断

16. 间断的情况：在 $x_{0}$ 的去心邻域内有定义，

1）在 $x_{0}$ 上有定义，即 $f(x_{0})$ 存在

2）在 $x_{0}$ 上有定义，即 $f(x_{0})$ 存在， $lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ 不存在

3）在 $x_{0}$ 上有定义，即 $f(x_{0})$ 存在， $lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ 不存在， $lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\neq f(x_{0})$

17.间断可分为两类：第一类：可去间断点和跳跃间断点左右极限存在

第二类：其他间断点左右极限不存在

18. 连续的运算：连续函数的四则运算结果也连续。连续函数的初等复合函数也连续。连续函数的反函数也连续。如果运算中有一个函数有间断，则连不连续需要判断。

微分和导数

19. 什么是微分？

微分是对差分的线性近似。差分是把原概念分为无数多份的其中一份。微分和差分都是无穷小。因此可以近似替代。 $S = \sum lim \Delta S=\sum lim dS$

20. 什么是切线，什么是切线的斜率，怎么计算？

切线是割线的极限，切线斜率是割线斜率的极限

$f^{'}(x_{0}) = lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

怎么定义微分？什么是可微？

21. 微分函数：将坐标系原点移到 $(x_{0},y_{0})$ 处，该点切线的函数

$h(x)=f^{'}(x_{0})\Delta x$

用微分算子完成这一映射

$f(x)\rightarrow h(x)$

即： $dy|_{x=x_{0}}=df(x)|_{x=x_{0}} = f^{'}(x_{0})\Delta x$

即可以写成： $dy=f^{'}(x_{0})dx$

是对 $\Delta y$ 的近似，也是线性映射。

22. 微分定义：函数在魔偶一区间内有定义， $x_{0}$ 及 $x_{0}+\Delta x$ 在此区间内，如果函数增量 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ 可以表示为 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ (可导),则称在 $x_{0}$ 是可微的。 $A\Delta x$ 叫做函数在点 $x_{0}$ 相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分（转移坐标系），记作（做映射）。即：

$dy=A\Delta x$

23.由22看出，可导与可微是充分必要关系。

24. 导函数：导函数是定义域各点上的斜率。

25. D算子，表示的是原函数到导函数的映射。算子表示的是函数之间的映射。

$D(f(x)) = f^{'}(x)=\frac{df(x)}{dx}$

26. 函数的微分

在定义域各点上的微分

$dy = h(x,dx) = f^{'}(x)dx$

27. 可导一定连续，反过来不一定成立。

28. 反函数的导数是什么？

$f^{-1}^{'}(x)=1/f^{'}(x)$ , 证明可以将f(x)代入。也可以根据反函数与原函数关于y=x对称来证明。

29. 什么是隐函数？

隐函数就是不能显示的说y=什么x.

根据函数的定义，x的所有元素都由y 相对应。每一个x对应唯一一个Y.。那么很多在全部定义域内并不符合，只在一个区间内符合函数的定义，我们称作邻域内的隐函数。

30. 最值和极值

在定义区间上大于等于任一点的值称为最值。

在某一去心邻域内大于任意一点称为极值。

如果是极值并且在该点可导，那么这一点的导数为0.

在闭区间的两端的导数如果不相等，在么在这个区间肯定存在一点的导数在这两个点的导数之间。

即，导函数一定满足介值性。

31. 罗尔中值定理

讲的是如果一个函数在开区间可导，闭区间连续，并且在闭区间两端的函数值相等。那么这个区间内一定有一个点的导数为0.

证明分两种情况。第一种情况是这个区间上的函数最大值与最小值相等。则导数在区间上恒为0。第二种情况是最大值和最小值都存在且不相等，那么一定有一个是在两端的。另一个最值则是极值，并且因为在该点可导，根据费尔引理可知，该点导数为0。

32. 微分中值定理（拉格朗日中值定理）

讲的是在一段路程中，一定有一点的速度和平均速度相等。或者是一定有一点的切线与两端连线平行。这个定理是罗尔中值定理的旋转。正如同介值定理是零点定理的平移。 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{'}(\xi )$

证明时用了一个辅助函数，该函数在两端的值相等且为0，那么根据罗尔中值定理，一定会有一点的导数为0.即可得出拉格朗日中值定理。

可以用这个定理判断函数增减。

33. 柯西中值定理

一个函数的变量x,y都可以用一个函数来表示，那么根据微分中值定理有 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi )}{F(\xi )}$

证明是用辅助函数证明的。

柯西中值定理，微分中值定理，罗尔中值定理之间的关系是这样的：

$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi )}{F(\xi )}$ $F(\xi )\rightarrow X$ $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{'}(\xi )$ $f(b)=f(a)\rightarrow$ $f'(\xi )=0$

34. 洛必达定理

洛必达定理是求 $lim_{x \rightarrow x_{0}/\varpi }\frac{0}{0}$ , 即当 $\\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=0\\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=0$ ,求这时的 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 。这里用函数变化率的比值来代替。可以用柯西中值定理来证明。

其他不是零比零形式的可以变换到这种形式求解。

35. 牛顿插值法和泰勒多项式

牛顿插值法和泰勒多项式都是想对一系列数据的映射f(x)的近似。

牛顿插值法是每增加一个数据都会增加一个多项式 $\\b_{n}\prod_{n}^{i=0}(x-x_i) \\ b_{n}=\frac{f[x_{0},...,x_{n}]-f[x_{0},...,x_{n-1}]}{x_{n}-x_{0}}$ 。

泰勒多项式是令这n个点等距，并且间隔 $lim\Delta{x}=0$

$p_n=lim_{\Delta x \rightarrow 0} f(x)=f(x_{0})+f^{'}(x_{0})(x-x_{0})+...+\frac{f^{n}(x_{0})}{(n)!}(x-x_{0})^{n}$

那么f(x)可以用泰勒多项式和余项来表示。

$f(x)=p_{n}(x)+R_{n}(x)$

证： $R_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n})\\ R_{n}(x_{0})=R_{n}^{'}(x_{0})=..=R_{n}^{(n)}(x_{0})=0\\ lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{R_{n}}{(x-x_{0})^n}=lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{R_{n}^{(n)}(x)}{n!}=\frac{R_{n}^{(n)}(x_{0})}{n!}=0$

$R_{n}(x)=\frac{f^{n+1}\left ( \xi \right )}{\left ( n+1 \right )!}(x-x_{0})^{n+1}\\ \frac{R_{n}(x)-R_{n}(x_{0})}{(x-x_{0})^{n+1}-(x_{0}-x_{0})^{n+1}}=\frac{R_{n}^{n}(x)}{(n+1)!}$

余项可以用来判断函数值的范围

泰勒公式的用途：更容易处理 $\frac{0}{0}$ 类型极限或找到一些函数的范围

36. 用导数判断极值点

极值的定义是该点的值大于（小于）去心邻域内所有点的值。

第一种判断方法：根据导数定义，可以证明，极大值点去心邻域内左边的导数大于0，右边点的导数小于0。

第二种判断方法：如果一点导数为0，根据泰勒展开，可以证明，如果该点二阶导数大于0，那么邻域内所有点的值大于该点的值，该点位极小值。同理可证极大值。如果二阶导数为0或不存在，则既不是极小也不是极大值。

37. 用导数判断凹凸性和拐点

弦的方程： $g(x)=f(x_{1})+\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})$

曲线方程：

凹的地方是弦在曲线上面。

凸的地方是弦在曲线下面。

如果函数为凹函数，

令 $x_{1}<x<x_{2},\frac{x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}=\lambda ,\lambda \in (0,1)\\ x=\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2}$ ，可以得到 $f(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})<\lambda f(x_{1})+(1-\lambda)f(x_{2})$

令 $\lambda =\frac{1}{2}$ , 则 $f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})<\frac{1}{2} f(x_{1})+\frac{1}{2}f(x_{2})$

同理可说明凸函数的情况。

另一种判断凹凸的方式是二阶导数。证明是通过拉格朗日中值定理来证明的。总的来说是二阶导数大于零，曲线在弦的下面，是凹函数。二阶导数小于0，那么弦在曲线下面，是凸函数。

拐点是两边凹凸不一致的点。数学上来讲，就是该点二阶导数为0，左边右边二阶导数都不为0并且正负号不同。

积分是什么？

38. 积分就是以直代曲的另一个应用。不过微分我们近似的是函数值，用导数（切线的斜率）和自变量的增量乘积来近似。积分近似的是函数曲线下的面积，用函数值和自变量的增量乘积的和来近似。

定义就是，把某段区间划分为n份， $\lambda$ 为最大的划分间隔。如果 $lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 这个极限存在，那么函数曲线与横轴构成的面积可以用该极限来近似。 $\int_{a}^{b}f(x)d(x)=S_{a}^{b}f(x)dx=lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 。这里的间隔划分可以随意，但为了方便或者怎样，一般都是等间隔划分。这里的关键是该极限存在。

39. 积分的性质有哪些可以推出来？

因为积分是乘积和的极限，如38所示。很容易可以推出齐次性，可加性，面积有正负，面积的大小和函数有关，积分可以分解为在两个区间上的积分。

由极限又可以推出，积分面积大于最小面积,小于最大面积,那么一定存在一个 $\varepsilon \in (a,b)$ . $f(\xi )(b-a)=S$

40. 积分函数是什么，积分函数的导数是什么？

积分函数是积分区间上限是一个自变量。

那么根据导数定义可以证明，积分函数的导数是用来积分的函数，称为导函数，积分函数称为原函数。

牛顿-莱布尼兹公式讲的就是积分可以用原函数来计算。

41. 原函数与积分上限函数的关系是什么？什么是不定积分？不定积分和原函数的关系是什么？

当函数连续时，原函数就是积分上限函数。不连续时，这两个之间不能划等号。

不定积分就是下限不确定的积分，即 $\int f(x)=\int_{a}^{x}f(x)=\int_{0}^{x}f(x)-\int_{0}^{a}f(x)=F(x)+C$

42. 积分的一些技术以及其证明

第一类换元法和第二类换元法的证明都是

分部积分法则证明是 $\\(uv)^{'}=u^{'}v+uv^{'}\\ \int uv^{'}dx=\int ((uv)^{'}-u^{'}v)dx=uv-\int u^{'}vdx$

43. 判断反常积分是不是收敛？

反常积分是积分区间包含无穷的函数的积分。要么自变量趋向无穷，要么函数值趋向无穷。

即： $\\ lim_{x\rightarrow \varpi }\int_{a}^{x} f(x)=lim_{x\rightarrow \varpi }F(x) - F(a) \\ lim_{x->a}f(x)=\varpi ,\int_{a}^{b} f(x)= F(b)-lim_{x\rightarrow a }F(a)$

因此证的关键是 $lim_{x\rightarrow \varpi }F(x) , lim_{x\rightarrow a }F(x)$ 存不存在。f(x)>0。

证明极限是否存在，第一种是看其是否单调有界。第二种看她如果大于一个函数，那个函数是发散的，那么这个F(x)也是发散的。如果小于某个函数且收敛，那么该函数极限也是存在的。

第三种是f(x)与 $x^{-p}$ 比较。,该函数积分收敛。 $p\leqslant 1$ ,该函数积分发散。这里用 $lim\frac{f(x)}{x^{-p}}=c?$

44. 微分方程是什么？微分方程的通解和特解是个啥？

微分方程是含有导函数和未知变量的方程，想要求解到的是该导函数的原函数。导数的原函数是一系列的函数 $\int f(x)=F(x)+C$ ，可以看成一个线素场。这一系列的原函数称为该方程的通解。如果原函数经过特定点，那么可以得到特解 $F(x)+C_{1}$ 。此外，通解也不一定代表该微分方程的所有解。

45. 什么是线性方程？

变量次方数为一次的是线性。分为齐次方程和非齐次方程。这样来看，矩阵也是线性方程。D算子可以用矩阵来表示。列向量分别表示x的不同阶数。那么三阶的D算子应为 $\\0 1 0\\ 002\\ 000\\$

$\iota =a_{0}+a_{1}D+a_{2}D^{2}+...+a_{n}D^{n}$ 称为微分算子，是矩阵，也是线性函数。

46. 微分方程的解得结构是什么？

由于可以把D当做矩阵，那么就是求线性方程组的解。如果是齐次微分方程，通解可以直接的出；如果是非齐次微分方程，解由通解和特解构成。

46. 怎么求解常系数微分方程？

的特征向量是 $e^{rx}$ (如果把当做举阵的话)，特征值为. 因为 $De^{rx}=re^{rx}$

常系数齐次微分方程的求解就是： $\left ( a_{0}+a_{1}D+a_{2}D^{2}+...+a_{n}D^{n} \right )e^{rx}=(a_{0}+a_{1}r+a_{2}r^{2}+...+a_{n}r^{n})e^{rx}=0*e^{rx}$

即求通解。找出r的值，找到特征向量。通解即是特征向量的线性组合。

怎么求非齐次变系数微分方程？

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

先求出齐次方程的通解。再令解为u(x)*通解（常数变易），代入方程，求出u(x)。

如果是这种形式： $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}$ ,则变换为正常形式： $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}\\ \rightarrow y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)\\ \rightarrow\frac{1}{1-n} \frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)\\ \rightarrow \frac{dy^{1-n}}{dx}+(1-n)P(x)y^{1-n}=(1-n)Q(x)\\ \rightarrow z=y^{1-n} \rightarrow \frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$ ,即可以正常求解。

如果是这种形式： $x^{n}D^{n}(y)+x^{n-1}D^{n-1}(y)+...+xD(y)+y=Q(x)$ , 则变为正常形式： $x=e^{t},t=ln(x)\\ D^{n}(y)=\frac{dy^{n}}{dx^{n}}=\frac{1}{x^{n}}(D)(D-1)...(D-n+1)\left \langle D=dy/dt \right \rangle$

$x^{n}D^{n}(y)+x^{n-1}D^{n-1}(y)+...+xD(y)+y=Q(x)\\ \rightarrow D^{n}(y)+D^{n-1}(y)+...+D(y)+y=Q(t)$ ,既可以正常求解

如何有效的学习AI大模型？ Python程序员罗宾学习人工智能语言模型自然语言处理架构
学习AI大模型是一个系统性的过程，涉及到多个学科的知识。以下是一些建议，帮助你更有效地学习AI大模型：基础知识储备：数学基础：学习线性代数、概率论、统计学和微积分等，这些是理解机器学习算法的数学基础。编程技能：掌握至少一种编程语言，如Python，因为大多数AI模型都是用Python实现的。理论学习：机器学习基础：了解监督学习、非监督学习、强化学习等基本概念。深度学习：学习神经网络的基本结构，如卷
群体遗传分析（一）#学习笔记 kangroomoon
哈温的遗传平衡定律是基础，费、莱、霍的群体遗传学是数学基础和理论框架，木村资生的中性进化论深化了自然选择的概念。中性学说认为：分子水平上的遗传变异在很大程度上是中性的，变异程度主要由突变速率和有效群体大小决定。（通过观察值和理论值之间的差异性测验中性进化假说）群体遗传多态性与结构分析Locus：遗传座位，在群体中通常包含多个allele：等位基因，即遗传多态性。大多数的新突变是由于geneticd
几何分布的期望和方差公式推导_算法数学基础-统计学最基础之均值、方差、协方差、矩... weixin_39848097 几何分布的期望和方差公式推导均值定理六个公式概率论方差公式
我们天天都可以接触很多随机现象，比如每天的天气不一样气温是我们最直接的感受，我们很难预测明天的精确问题，但是这些随机现象又体现出了一定的规律性。比如上海7月份平均35度左右，冬天的平均温度在5度左右。所以35、5这些数字体现了某种稳定性。所以除了前面几章中讲到的分布律和概率密度函数可以表征随机变量外，还可以用一组数字来表达随机变量的一般特性。这就是我们今天要讲到的随机变量的数字特征。通过对数字特征
CTF 竞赛密码学方向学习路径规划 David Max CTF 学习笔记密码学 ctf 信息安全
目录计算机科学基础计算机科学概念的引入、兴趣的引导开发环境的配置与常用工具的安装WattToolkit（Steam++）、机场代理Scoop（Windows用户可选）常用Python库SageMathLinux小工具yafuOpenSSLMarkdown编程基础Python其他编程语言、算法与数据结构（可选）数学基础离散数学与抽象代数复杂性分析密码学的正式学习兴趣的培养做题小技巧系统学习需要了解并
深度学习算法，该如何深入，举例说明 liyy614 深度学习
深度学习算法的深入学习可以从理论和实践两个方面进行。理论上，深入理解深度学习需要掌握数学基础（如线性代数、概率论、微积分）、机器学习基础和深度学习框架原理。实践上，可以通过实现和优化深度学习模型来提升技能。理论深入数学基础线性代数：理解向量、矩阵、特征值和特征向量等，对于理解神经网络的权重和偏置矩阵至关重要。概率论：用于理解模型的不确定性，如Dropout等正则化技术。微积分：理解梯度下降等优化算
数学基础 -- 线性代数正交多项式之勒让德多项式展开推导 sz66cm 线性代数决策树算法
勒让德多项式展开的详细过程勒让德多项式是一类在区间[−1,1][-1,1][−1,1]上正交的多项式，可以用来逼近函数。我们可以将一个函数表示为勒让德多项式的线性组合。以下是如何推导勒让德多项式展开系数ana_nan的详细过程。1.勒让德展开的基本假设给定一个函数f(x)f(x)f(x)，我们希望将它表示为勒让德多项式的线性组合：f(x)=∑n=0∞anPn(x),f(x)=\sum_{n=0}^
数学基础 -- 线性代数之格拉姆-施密特正交化 sz66cm 线性代数机器学习人工智能
格拉姆-施密特正交化格拉姆-施密特正交化（Gram-SchmidtOrthogonalization）是一种将一组线性无关的向量转换为一组两两正交向量的算法。通过该过程，我们能够从原始向量组中构造正交基，并且可以选择归一化使得向量组成为标准正交基。算法步骤假设我们有一组线性无关的向量{v1,v2,…,vn}\{v_1,v_2,\dots,v_n\}{v1,v2,…,vn}，其目标是将这些向量正交化
数学基础 -- 线性代数之矩阵的迹 sz66cm 线性代数机器学习决策树
矩阵的迹什么是矩阵的迹？矩阵的迹（TraceofaMatrix）是线性代数中的一个基本概念，定义为一个方阵主对角线上元素的总和。矩阵的迹在许多数学和物理应用中都起着重要作用，例如在矩阵分析、量子力学、统计学和系统理论中。矩阵迹的定义对于一个n×nn\timesnn×n的方阵AAA：A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann)A=\begin{pmatrix}a_{1
数学基础 -- 线性代数之矩阵正定性 sz66cm 线性代数矩阵
线性代数中的正定性正定性在线性代数中主要用于描述矩阵的特性，尤其是在二次型与优化问题中有重要应用。正定矩阵的定义对于一个n×nn\timesnn×n的对称矩阵AAA，其正定性可以通过以下条件来判断：正定矩阵：如果对于任意非零向量x∈Rnx\in\mathbb{R}^nx∈Rn，二次型xTAxx^TAxxTAx都是正的，即：xTAx>0∀x∈Rn,x≠0x^TAx>0\quad\forallx\in
想学java，需要什么基础？吹来人间烟火
不需要什么基础，课程都是针对于零基础的同学，设计这个行业，本身入行门槛比较低，能力重于学历。真正科班出身的更是少数，大部分人都是通过找培训机构系统学习出来的，所以只要自己下定决心去学，就一定能学会的。另外，如果说普通人具备哪些能力可以更好地学习Java，那可以列出来三点。1、简单的英语读写能力；2、一定的数学基础；3、一定的计算机基础操作能力。Java是一门面向对象地编程语言，吸收了C++语言的各
数学基础 -- 线性代数之酉矩阵 sz66cm 量子计算线性代数
酉矩阵（UnitaryMatrix）酉矩阵是线性代数中一种重要的矩阵类型，特别在量子力学和信号处理等领域有广泛的应用。以下是酉矩阵的定义、性质以及使用和计算的例子。1.定义酉矩阵是一个复矩阵UUU，满足以下条件：U†U=UU†=IU^{\dagger}U=UU^{\dagger}=IU†U=UU†=I其中：U†U^{\dagger}U†是矩阵UUU的共轭转置矩阵，即UUU的转置矩阵再取元素的共轭。
深度学习奥秘解锁：AI大模型技能提升指南 AGI大模型老王人工智能深度学习语言模型算法大模型 AI大模型
文章目录每日一句正能量前言AI大模型学习的理论基础AI大模型的训练与优化AI大模型在特定领域的应用AI大模型学习的伦理与社会影响未来发展趋势与挑战后记**前言**随着人工智能技术的快速发展，AI大模型学习正成为一项备受关注的研究领域。为了提高模型的准确性和效率，研究者们需要具备深厚的数学基础和编程能力，并对特定领域的业务场景有深入的了解。通过不断优化模型结构和算法，AI大模型学习正为人类的生活和工
数学基础 -- 线性代数之伴随矩阵 sz66cm 线性代数矩阵
伴随矩阵1.代数余子式首先我们需要理解什么是代数余子式。对于一个n×nn\timesnn×n的方阵AAA，代数余子式MijM_{ij}Mij是指从矩阵AAA中删除第iii行和第jjj列后，剩下的子矩阵的行列式。假设有一个3×33\times33×3的矩阵：A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_
数学基础 -- 线性代数之矩阵的秩 sz66cm 线性代数矩阵机器学习
矩阵的秩：概念与应用1.概述矩阵的秩（Rank）是线性代数中的一个基本概念，它衡量了矩阵中行或列向量的线性无关性。矩阵的秩在解线性方程组、矩阵分解、确定线性变换的维度等方面起着重要作用。2.矩阵的秩的定义矩阵的秩可以从以下几个角度进行定义：行秩：矩阵的行秩是指矩阵中最大线性无关行向量的个数。列秩：矩阵的列秩是指矩阵中最大线性无关列向量的个数。在一个矩阵中，行秩和列秩总是相等的，因此我们通常将矩阵的
【ShuQiHere】从零开始实现逻辑回归：深入理解反向传播与梯度下降 ShuQiHere 代码武士的机器学习秘传逻辑回归算法机器学习
【ShuQiHere】逻辑回归是机器学习中一个经典的分类算法，尽管它的名字中带有“回归”，但它的主要用途是处理二分类问题。逻辑回归通过一个逻辑函数（Sigmoid函数）将输入特征映射到一个概率值上，然后根据这个概率值进行分类。本文将带你从零开始一步步实现逻辑回归，并深入探讨背后的核心算法——反向传播与梯度下降。逻辑回归的数学基础逻辑回归的目标是找到一个逻辑函数，能够将输入特征映射到一个(0,1)之
数学基础 -- 线性代数之行阶梯形 sz66cm 线性代数机器学习人工智能
行阶梯形行阶梯形（RowEchelonForm,REF）是线性代数中用于简化矩阵形式的一种方法，常用于求解线性方程组。矩阵经过行变换（如高斯消元法）后可以转换为行阶梯形，它具有以下特点：行阶梯形的定义零行在矩阵的底部：矩阵中如果存在一行全为零的行，这些行必须在矩阵的最下方。每一非零行的首个非零元素为1：这一元素称为该行的主元（leadingentry）。主元是从左到右的第一个非零元素，并且主元必须
【ShuQiHere】《机器学习的进化史『上』：从数学模型到智能算法的百年征程》 ShuQiHere 机器学习人工智能
【ShuQiHere】引言：概述机器学习的演进机器学习的发展史是一段从数学基础到智能算法的演进历程。从19世纪的数学探索，到20世纪的计算革命，再到21世纪的智能算法应用，机器学习模型的演化贯穿了科学进步的每个重要阶段。这篇博客将系统回顾这些模型的历史演进，展示它们之间的联系，并探讨其在现代应用中的重要性。线性回归：机器学习的起点背景故事：1805年的法国，年轻的数学家Adrien-MarieLe
数学基础 -- 线性代数之增广矩阵 sz66cm 线性代数机器学习
增广矩阵增广矩阵（AugmentedMatrix）是在求解线性方程组时常用的工具。它将线性方程组的系数矩阵与常数项合并在一起，形成一个扩展的矩阵，从而便于使用矩阵操作方法求解方程组。定义假设我们有一个线性方程组：a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{aligned}a_{11}x_1+a_
数学基础 -- 梯度下降算法 sz66cm 算法人工智能数学基础
梯度下降算法梯度下降算法（GradientDescent）是一种优化算法，主要用于寻找函数的局部最小值或全局最小值。它广泛应用于机器学习、深度学习以及统计学中，用于最小化损失函数或误差函数。梯度下降的基本概念梯度下降算法通过以下步骤工作：初始化参数：随机初始化模型的参数（如权重和偏差），也可以用特定的策略初始化。计算损失：对当前模型输出和实际目标值计算损失（如均方误差、交叉熵等）。计算梯度：计算损
数学基础 -- 线性代数之矩阵的可逆性 sz66cm 线性代数矩阵机器学习
矩阵的可逆性1.矩阵可逆的定义对于一个n×nn\timesnn×n的方阵AAA，如果存在一个矩阵BBB使得：A×B=B×A=InA\timesB=B\timesA=I_nA×B=B×A=In其中InI_nIn是n×nn\timesnn×n的单位矩阵（对角线上全为1，其他位置全为0），那么矩阵AAA是可逆的，并称矩阵BBB是矩阵AAA的逆矩阵，记作A−1A^{-1}A−1。2.矩阵不可逆的定义如果对
Logistic 回归零度° 机器学习回归数据挖掘人工智能
文章目录1.引言2.Logistic回归概述2.1定义与应用场景2.2与线性回归的区别3.原理与数学基础3.1Sigmoid函数3.2概率解释3.3极大似然估计4.模型建立4.1假设函数4.2成本函数4.3梯度下降法5.正则化5.1正则化的目的与类型5.1.1正则化的目的5.1.2正则化的类型5.2L1和L2正则化5.2.1L1正则化5.2.2L2正则化6.多分类问题6.1一对多(OvA)6.2一
数学基础 -- 线性代数之行列式不变性推导 sz66cm 线性代数
行列式不变性的推导我们要证明：给矩阵的一行（或列）加上另一行（或列）的倍数，这种操作不会改变行列式的值。问题描述假设我们有一个矩阵AAA，其大小为3×33\times33×3，如果我们将其第1行加上第2行的倍数，得到新的矩阵A′A'A′。我们需要证明矩阵AAA的行列式和矩阵A′A'A′的行列式是相等的。给定矩阵AAA如下：A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)A=\begi
数学基础（四）几两春秋梦_ 数学基础算法人工智能机器学习
一、特征值与特征向量特征空间：特征向量的应用：特征值表达了重要程度且和特征向量所对应，那么特征值大的就是主要信息了，基于这点我们可以提供各种有价值的信息。二、SVD矩阵分解基变换：特征值分解：SVD：离散型随机变量概率函数（概率质量函数）：连续型随机变量似然函数
深度学习如何入门？科学的N次方深度学习
入门深度学习需要系统性的学习和实践经验积累，以下是一份详细的入门指南，包含了关键的学习步骤和资源：预备知识：•编程基础：熟悉Python编程语言，它是深度学习领域最常用的编程语言。确保掌握变量、条件语句、循环、函数等基本概念，并学习如何使用Python处理数据和文件操作。•数学基础：理解线性代数（矩阵运算、向量空间等）、微积分（导数、梯度求解等）、概率论与统计学（期望、方差、概率分布、最大似然估计
2018-02-19 471503Liwufeng
四十岁之后就经常算不清楚自己多大岁数，到底44还是45或者46真的不能不假思索脱口而出。是小学数学基础没打好，还是心理学上说的“可以回避”？所以今天记上一笔，2018年2月19日，45周岁。中年人的生日我相信没人由衷想为自己又长一岁而庆贺
计算机等级考试：信息安全技术知识点二 ting_liang 计算机网络
1、信息技术的飞速发展，对人类社会产生了重要影响，其主流是积极的，但也客观存在一些负面影响，这些负面影响有:信息泛滥、信息污染、信息犯罪。2、1949年，香农发表了著名的《保密系统的通信理论》的论文，把密码学置于坚实的数学基础上，标志着密码学作为一门学科的形成。3、数字签名的过程使用的是签名者的私有密钥，验证数字签名时，使用的是签名者的公有密钥。4、已知最早的代换密码是由JuliusCaesar发
数学分析视频+书籍等 dllglvzhenfeng 计算机考研机试创新程序猿的数学人工智能算法信奥青少年趣味编程数学分析
数学分析（数学基础分支）数学分析（数学基础分支）_百度百科《数学分析（一）》专题《数学分析（一）》专题_哔哩哔哩_bilibili北京某高校《数学分析（二）》：第一讲~第五讲北京某高校《数学分析（二）》：第一讲~第五讲_哔哩哔哩_bilibili北京某高校《数学分析（二）》：第六讲~第八讲（未完待续）北京某高校《数学分析（二）》：第六讲~第八讲_哔哩哔哩_bilibili北京某高校《微观数学》之《
【人工智能学习思维脉络导图】 AK@ 人工智能人工智能学习
曾梦想执剑走天涯，我是程序猿【AK】目录知识图谱1.基础知识2.人工智能核心概念3.实践与应用4.持续学习与进展5.挑战与自我提升6.人脉网络知识图谱人工智能学习思维脉络导图1.基础知识计算机科学基础数学基础（线性代数、微积分、概率论和统计学）编程语言（Python、R等）2.人工智能核心概念机器学习监督学习无监督学习强化学习深度学习神经网络卷积神经网络（CNN）循环神经网络（RNN）自然语言处理
智力题还是水有毒 (智力唤醒、简单代码、公平性) BABYMISS
前言：群里发现一个很有意思的问题一、智力题？？！有1000瓶水，其中有一瓶有毒，小白鼠只要尝一点带毒的水24小时内就会死亡，至少要多少只小白鼠才能在24小时内鉴别出哪瓶水有毒？【题目肯定经不起吃瓜大众的推敲，我们还是按出题人的思路来！】二、思路对不起，刚开始跑偏了。自诩数学基础好、生活经验丰富的我，思绪飘过二叉树、布隆过滤器，在奥卡姆剃刀指引下，最终回归最基础的二进制(如果是1024瓶水，保证不跑
小学奥数全套试卷百度云资源，pdf可打印电子版地址更新全网优惠分享君
奥数，全称为奥林匹克数学竞赛，是一项极富挑战性的数学竞赛活动。它旨在发现和培养数学人才，提高他们的数学水平，并为国家培养出优秀的数学后备力量。在奥数竞赛中，学生需要掌握扎实的数学基础，灵活运用数学知识，解决各种复杂的数学问题。为了帮助小学生更好地学习奥数，我们整理了一份小学奥数全套试卷百度云资源，pdf可打印电子版。这份资源包含了小学奥数各年级的试卷，题型全面，难度适中，适合小学生练习和提高自己的
log4j对象改变日志级别 3213213333332132 java log4j level log4j对象名称日志级别
log4j对象改变日志级别可批量的改变所有级别，或是根据条件改变日志级别。 log4j配置文件： log4j.rootLogger=ERROR,FILE,CONSOLE,EXECPTION #log4j.appender.FILE=org.apache.log4j.RollingFileAppender log4j.appender.FILE=org.apache.l
elk+redis 搭建nginx日志分析平台 ronin47 elasticsearch kibana logstash
elk+redis 搭建nginx日志分析平台 logstash,elasticsearch,kibana 怎么进行nginx的日志分析呢？首先，架构方面，nginx是有日志文件的，它的每个请求的状态等都有日志文件进行记录。其次，需要有个队列，redis的l
Yii2设置时区 dcj3sjt126com PHP timezone yii2
时区这东西，在开发的时候，你说重要吧，也还好，毕竟没它也能正常运行，你说不重要吧，那就纠结了。特别是linux系统，都TMD差上几小时，你能不痛苦吗？win还好一点。有一些常规方法，是大家目前都在采用的1、php.ini中的设置，这个就不谈了，2、程序中公用文件里设置，date_default_timezone_set一下时区3、或者。。。自己写时间处理函数，在遇到时间的时候，用这个函数处理（比较
js实现前台动态添加文本框，后台获取文本框内容 171815164 文本框
<%@ page language="java" import="java.util.*" pageEncoding="UTF-8"%> <!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://w
持续集成工具 g21121 持续集成
持续集成是什么？我们为什么需要持续集成？持续集成带来的好处是什么？什么样的项目需要持续集成？... 持续集成(Continuous integration ,简称CI)，所谓集成可以理解为将互相依赖的工程或模块合并成一个能单独运行
数据结构哈希表(hash)总结永夜-极光数据结构
1.什么是hash 来源于百度百科: Hash，一般翻译做“散列”，也有直接音译为“哈希”的，就是把任意长度的输入，通过散列算法，变换成固定长度的输出，该输出就是散列值。这种转换是一种压缩映射，也就是，散列值的空间通常远小于输入的空间，不同的输入可能会散列成相同的输出，所以不可能从散列值来唯一的确定输入值。简单的说就是一种将任意长度的消息压缩到某一固定长度的消息摘要的函数。
乱七八糟程序员是怎么炼成的
eclipse中的jvm字节码查看插件地址： http://andrei.gmxhome.de/eclipse/ 安装该地址的outline 插件后重启，打开window下的view下的bytecode视图 http://andrei.gmxhome.de/eclipse/ jvm博客： http://yunshen0909.iteye.com/blog/2
职场人伤害了“上司” 怎样弥补 aijuans 职场
由于工作中的失误，或者平时不注意自己的言行“伤害”、“得罪”了自己的上司，怎么办呢？　　在职业生涯中这种问题尽量不要发生。下面提供了一些解决问题的建议：　　一、利用一些轻松的场合表示对他的尊重　　即使是开明的上司也很注重自己的权威，都希望得到下属的尊重，所以当你与上司冲突后，最好让不愉快成为过去，你不妨在一些轻松的场合，比如会餐、联谊活动等，向上司问个好，敬下酒，表示你对对方的尊重，
深入浅出url编码 antonyup_2006 应用服务器浏览器 servlet weblogic IE
出处：http://blog.csdn.net/yzhz 杨争 http://blog.csdn.net/yzhz/archive/2007/07/03/1676796.aspx 一、问题：编码问题是JAVA初学者在web开发过程中经常会遇到问题，网上也有大量相关的
建表后创建表的约束关系和增加表的字段百合不是茶标的约束关系增加表的字段
下面所有的操作都是在表建立后操作的,主要目的就是熟悉sql的约束,约束语句的万能公式 1,增加字段(student表中增加姓名字段) alter table 增加字段的表名 add 增加的字段名增加字段的数据类型 alter table student add name varchar2(10); &nb
Uploadify 3.2 参数属性、事件、方法函数详解 bijian1013 JavaScript uploadify
一.属性属性名称默认值说明 auto true 设置为true当选择文件后就直接上传了，为false需要点击上传按钮才上传。 buttonClass ” 按钮样式 buttonCursor ‘hand’ 鼠标指针悬停在按钮上的样子 buttonImage null 浏览按钮的图片的路
精通Oracle10编程SQL(16)使用LOB对象 bijian1013 oracle 数据库 plsql
/* *使用LOB对象 */ --LOB(Large Object)是专门用于处理大对象的一种数据类型，其所存放的数据长度可以达到4G字节 --CLOB/NCLOB用于存储大批量字符数据，BLOB用于存储大批量二进制数据，而BFILE则存储着指向OS文件的指针 /* *综合实例 */ --建立表空间 --#指定区尺寸为128k,如不指定，区尺寸默认为64k CR
【Resin一】Resin服务器部署web应用 bit1129 resin
工作中，在Resin服务器上部署web应用，通常有如下三种方式：配置多个web-app 配置多个http id 为每个应用配置一个propeties、xml以及sh脚本文件配置多个web-app 在resin.xml中,可以为一个host配置多个web-app <cluster id="app&q
red5简介及基础知识白糖_ 基础
简介 Red5的主要功能和Macromedia公司的FMS类似，提供基于Flash的流媒体服务的一款基于Java的开源流媒体服务器。它由Java语言编写，使用RTMP作为流媒体传输协议，这与FMS完全兼容。它具有流化FLV、MP3文件，实时录制客户端流为FLV文件，共享对象，实时视频播放、Remoting等功能。用Red5替换FMS后,客户端不用更改可正
angular.fromJson boyitech AngularJS AngularJS 官方API AngularJS API
angular.fromJson 描述: 把Json字符串转为对象使用方法: angular.fromJson(json); 参数详解: Param Type Details json string JSON 字符串返回值: 对象, 数组, 字符串或者是一个数字示例: <!DOCTYPE HTML> <h
java-颠倒一个句子中的词的顺序。比如： I am a student颠倒后变成：student a am I bylijinnan java
public class ReverseWords { /** * 题目：颠倒一个句子中的词的顺序。比如： I am a student颠倒后变成：student a am I.词以空格分隔。 * 要求： * 1.实现速度最快,移动最少 * 2.不能使用String的方法如split,indexOf等等。 * 解答：两次翻转。 */ publ
web实时通讯 Chen.H Web 浏览器 socket 脚本
关于web实时通讯，做一些监控软件。由web服务器组件从消息服务器订阅实时数据，并建立消息服务器到所述web服务器之间的连接，web浏览器利用从所述web服务器下载到web页面的客户端代理与web服务器组件之间的socket连接，建立web浏览器与web服务器之间的持久连接；利用所述客户端代理与web浏览器页面之间的信息交互实现页面本地更新，建立一条从消息服务器到web浏览器页面之间的消息通路
[基因与生物]远古生物的基因可以嫁接到现代生物基因组中吗? comsci 生物
大家仅仅把我说的事情当作一个IT行业的笑话来听吧..没有其它更多的意思如果我们把大自然看成是一位伟大的程序员,专门为地球上的生态系统编制基因代码,并创造出各种不同的生物来,那么6500万年前的程序员开发的代码,是否兼容现代派的程序员的代码和架构呢?
oracle 外部表 daizj oracle 外部表 external tables
oracle外部表是只允许只读访问，不能进行DML操作，不能创建索引，可以对外部表进行的查询，连接，排序，创建视图和创建同义词操作。 you can select, join, or sort external table data. You can also create views and synonyms for external tables. Ho
aop相关的概念及配置 daysinsun AOP
切面(Aspect): 通常在目标方法执行前后需要执行的方法（如事务、日志、权限），这些方法我们封装到一个类里面，这个类就叫切面。连接点（joinpoint） spring里面的连接点指需要切入的方法，通常这个joinpoint可以作为一个参数传入到切面的方法里面（非常有用的一个东西）。通知（Advice）通知就是切面里面方法的具体实现，分为前置、后置、最终、异常环
初一上学期难记忆单词背诵第二课 dcj3sjt126com english word
middle 中间的，中级的 well 喔，那么；好吧 phone 电话，电话机 policeman 警察 ask 问 take 拿到；带到 address 地址 glad 高兴的，乐意的 why 为什么 China 中国 family 家庭 grandmother (外)祖母 grandfather (外)祖父 wife 妻子 husband 丈夫 da
Linux日志分析常用命令 dcj3sjt126com linux log
1.查看文件内容 cat -n 显示行号 2.分页显示 more Enter 显示下一行空格显示下一页 F 显示下一屏 B 显示上一屏 less /get 查询"get"字符串并高亮显示 3.显示文件尾 tail -f 不退出持续显示 -n 显示文件最后n行 4.显示头文件 head -n 显示文件开始n行 5.内容排序 sort -n 按照
JSONP 原理分析 fantasy2005 JavaScript jsonp jsonp 跨域
转自 http://www.nowamagic.net/librarys/veda/detail/224 JavaScript是一种在Web开发中经常使用的前端动态脚本技术。在JavaScript中，有一个很重要的安全性限制，被称为“Same-Origin Policy”（同源策略）。这一策略对于JavaScript代码能够访问的页面内容做了很重要的限制，即JavaScript只能访问与包含它的
使用connect by进行级联查询 234390216 oracle 查询父子 Connect by 级联
使用connect by进行级联查询 connect by可以用于级联查询，常用于对具有树状结构的记录查询某一节点的所有子孙节点或所有祖辈节点。来看一个示例，现假设我们拥有一个菜单表t_menu，其中只有三个字段：
一个不错的能将HTML表格导出为excel,pdf等的jquery插件 jackyrong jquery插件
发现一个老外写的不错的jquery插件，可以实现将HTML 表格导出为excel,pdf等格式，地址在： https://github.com/kayalshri/ 下面看个例子，实现导出表格到excel,pdf <html> <head> <title>Export html table to excel an
UI设计中我们为什么需要设计动效 lampcy UI UI设计
关于Unity3D中的Shader的知识首先先解释下Unity3D的Shader，Unity里面的Shaders是使用一种叫ShaderLab的语言编写的，它同微软的FX文件或者NVIDIA的CgFX有些类似。传统意义上的vertex shader和pixel shader还是使用标准的Cg/HLSL 编程语言编写的。因此Unity文档里面的Shader，都是指用ShaderLab编写的代码，
如何禁止页面缓存 nannan408 html jsp cache
禁止页面使用缓存~ ------------------------------------------------ jsp:页面no cache： response.setHeader("Pragma","No-cache"); response.setHeader("Cache-Control","no-cach
以代码的方式管理quartz定时任务的暂停、重启、删除、添加等 Everyday都不同定时任务管理 spring-quartz
【前言】在项目的管理功能中，对定时任务的管理有时会很常见。因为我们不能指望只在配置文件中配置好定时任务就行了，因为如果要控制定时任务的 “暂停” 呢？暂停之后又要在某个时间点 “重启” 该定时任务呢？或者说直接 “删除” 该定时任务呢？要改变某定时任务的触发时间呢？ “添加” 一个定时任务对于系统的使用者而言，是不太现实的，因为一个定时任务的处理逻辑他是不
EXT实例 tntxia ext
（1）增加一个按钮 JSP: <%@ page language="java" import="java.util.*" pageEncoding="UTF-8"%> <% String path = request.getContextPath(); Stri
数学学习在计算机研究领域的作用和重要性 xjnine Math
最近一直有师弟师妹和朋友问我数学和研究的关系，研一要去学什么数学课。毕竟在清华，衡量一个研究生最重要的指标之一就是paper,而没有数学，是肯定上不了世界顶级的期刊和会议的，这在计算机学界尤其重要！你会发现，不论哪个领域有价值的东西，都一定离不开数学！在这样一个信息时代，当google已经让世界没有秘密的时候，一种卓越的数学思维，绝对可以成为你的核心竞争力. 无奈本人实在见地

单变量微积分笔记

你可能感兴趣的:(数学基础)