几何分布期望，方差推导

几何分布的概率质量函数：

p(k)=p(1−p)k−1,for k = 1,2,3,...

期望推导：

E(k)=∑k=1nkp(1−p)k−1=p∑k=1nk(1−p)k−1=p(1+2q+3q2+...+nqn−1)令q=(1-p)

使用倍差法/错位相减法求和：

令Sk=1+2q+3q2+...+nqn−1(1)

则qSk=q+2q2+3q3+...(n−1)qn−1+nqn(2)

(1)−(2):(1−q)Sk=1+q+q2+q3+...+qn−1−nqn=1−qn1−q−nqn

因此，Sk=1−qn(1−q)2−nqn1−q

考虑 n→+∞ 的情况

∵0<q<1

∴limn→+∞qn=0⟹limn→+∞Sk=1(1−q)2

因此，E(k)=p(1−q)2=1p

方差推导：

E(k2)=∑k=1nk2p(1−p)k−1=p∑k=1nk2(1−p)k−1=p(1+22q+32q2+...+n2qn−1)

只要对括号内求和即可得到结果：

令T=1+22q+32q2+...+n2qn−1=(q+2q2+3q3+...+nqn)′由E(k)可知，括号内等于qSk

对 qSk 进行求导即可得到 T(n→+∞) :

limn→+∞qSk=q(1−q)2

[q(1−q)2]′=1−q2(1−q)4=1+q(1−q)3=T

因此，E(k2)=pT=1+q(1−q)2

最终得到方差为：

Var(k)=E(k2)−E(k)2=1+q(1−q)2−1p2=qp2=1−pp2