KaraTsuba乘法——高效的大数乘法

今天看Coursera课程时，看到一个牛逼的算法，叫KaraTsuba乘法。普通乘法复杂度一般都是O(n^2)，而这个算法，仅有O( nlog3)。下面，我就来介绍一下这个算法。

        首先来看看这个算法是怎么进行计算的，见下图：

图中显示了计算5678*1234的过程，首先是拆分成abcd四个部分，然后分别计算ac, bd, (a + b)*(c+d)，最后再用第三个算式的结果减去前面两个（其实得到的就是bc+ad，但是减少了乘法步骤），然后，计算式1后面加4个0，计算式2后面不加，计算式3后面加2个0，再把这三者相加，就是正确结果。好吧，看到这里，你一定觉得，这不是很复杂吗。但其实不然，在大数计算的时候，计算机中无法直接用*实现，只能自己写算法，这时候，每个人写的算法不同，差异就体现出来了。

接下来，就来证明一下这个算法的正确性。

我们假设要相乘的两个数是x * y。我们可以把x，y写成

这里的n是数字的位数。如果是偶数，则a和b都是n / 2位的。如果n是奇数，则你可以让a是n / 2 + 1位，b是n / 2位。（例如a = 12，b = 34；a = 123，b = 45）

那么x * y就变成了

进一步计算，

对比之前的计算过程。结果已经呼之欲出了这里唯一需要注意的两点就是

1. (a * d + b * c)的计算为了防止两次乘法，应该使用之前的计算

2. 这些乘法在算法里应该是递归实现的，数字很大时，先拆分，然后拆分出来的数字还是很大的话，就继续拆分，直到a * b已经是一个非常简单的小问题为之。这也是分治的思想。