数据库函数依赖闭包的求法

函数依赖的闭包

定义：若F为关系模式R(U)的函数依赖集，我们把F以及所有被F逻辑蕴涵的函数依赖的集合称为F的闭包，记为F+。
即：F+={X→Y|X→Y∈F∨“应用Armstong公理从F中导出的任何X→Y”}

△ F包含于F+，如果F=F+，则F为函数依赖的一个完备集。
△ 规定：若X为U的子集，X→Φ 属于F+。

关系模式R若有n个属性，则在模式R上可能成立的函数依赖有4n个，其中n个属性中组合成X有2n个,组合成Y有2n个。

例:已知关系模式R(ABC),F={A→C,B→C},求F+

解：∵U={A，B，C}，左部不同的属性集组合有23=8种：

Φ、A、B、C、AB、BC、AC、ABC。

（1）∴Φ→Φ

（2）∵(A)F+=AC

∴A→Φ、A→A、A→C、A→AC。

（3）∵(B)F+=BC

∴B→Φ、B→B、B→C、B→BC。

（4）∵(C)F+=C

∴C→Φ、C→C。

（5）∵(AB)F+=ABC

∴AB→Φ、AB→AB 、AB→A、AB→B 、AB→C、AB→BC 、AB→AC、AB→ABC 。

（6）∵(BC)F+=BC

∴BC→Φ、BC→BC、BC→B、BC→C。

（7）∵(AC)F+=BC

∴AC→Φ、AC→BC、AC→B、AC→C。

（8）∵(ABC)F+=ABC

∴ABC→Φ、ABC→ABC 、ABC→A、ABC→B 、ABC→C、ABC→BC 、ABC→AB、ABC→AC。

所以F+共有35个具体如下：

∴Φ→Φ、A→∅、A→A、A→C、A→AC

B→Φ、B→B、B→C、B→BC

C→Φ、C→C、 AB→∅、AB→AB 、AB→A、AB→B 、AB→C、AB→BC 、AB→AC、AB→ABC 、

BC→Φ、BC→BC、BC→B、BC→C、

AC→Φ、AC→BC、AC→B、AC→C、

ABC→Φ、ABC→ABC 、ABC→A、ABC→B 、ABC→C、ABC→BC 、ABC→AB、ABC→AC