矩阵相似证明相关

设A,B均为n阶矩阵，A可逆且A~B,则下列命题中：

• AB~BA
• A2~B2
• AT ~BT
• A−1~ B−1

全都成立，一一证明。

分析：

AB~BA, 因为题干说A可逆，是不是提示我们，A可以当作P这种可逆矩阵的角色？ 即：A−1ABA=BA，左右同乘，恰好得证。

P−1A2P=P−1APP−1AP=(P−1AP)(P−1AP)=B2,所以A2~B2成立。

而对于AT ~BT，A−1~ B−1这两个我尝试了各种做法都没走通，直到晚上回来，突然想明白了：(ABC)T=CTBTAT,相似的是：(ABC)−1=CTBTA−1，这个恰好可以用在这里。则：由P−1AP=B,两边可以同时取转置，得：(P−1AP)T=PTAT(P−1)T=BT,又因为(P−1)T=(PT)−1,所以可以变化为下面的式子：PTAT(PT)−1=BT,P是可逆矩阵，PT也是可逆矩阵，则这个已经表明了AT ~ BT。

同理可以用在A−1~ B−1，即：(P−1AP)−1=P−1A−1(P−1)−1=B−1，即：P−1A−1P=B−1，立马可以得到：A−1~ B−1。

因此，四个全部成立。