利用级数求和推导泊松分布的期望方差

利用级数求和推导泊松分布的期望方差

@(概率论)

闲来无事，动手推导一个常见的泊松分布的表达式相关的数字特征： EX,DX。并通过这个过程思考级数求和的注意事项。

回顾泊松分布：

设变量X服从 λ 的泊松分布，则：

P(X=k)=λkk!e−λ,k=0,1,2,....

泊松分布的表达式非常优美，但是需要强调的是k是从0开始的离散数字。这在级数中，相当重要，首项是否为0决定了整个求和的结果，所以我会多次强调，每一步注意清理掉首项为0的项才进入下一步，好像抖掉灰尘一样才往前走。

不啰嗦，直接看EX,DX的求法。

EX

EX=∑k=0∞kP(X=k)=∑k=0∞kλkk!e−λ

看到这个形式，就有了努力的方向：往

ex=∑n=0∞xnn!

上靠，挡在这个目标前面的障碍–系数，多余的变量等，能抽出去的，能被求导求积分吸收的，全都处理掉，现在有非常明确的目标，要往已知的级数展开式上 靠拢。包括下标，为了凑到一样起始的下标，可能多出变量，么事，抽到求和符号前面去。 不要把与下标相关的量抽出去了。

有了这个铺垫，我们观察：

• 首项为0，先去掉：

  ∑k=1∞kλkk!e−λ

• 前面的k去掉，把与下标无关的量 e−λ 抽出去：

  e−λ∑k=1∞λk(k−1)!

• 很靠近了,下标调整，即变为从0开始：

  e−λ∑k=0∞λk+1k!
  分子分母都有变化。

• 分子多个 λ ，提出去：

  e−λλ∑k=0∞λkk!

到这里，终于完成了目标，有了和 ex 展开式一样的部分了。

→EX=e−λλeλ=λ

具体任务完成了一半，但是理解了这个过程，抽象得说，完成了90%。

DX

DX=EX2−(EX)2

只需要求解 EX2 即可。

EX2=∑k=0∞k2P(X=k)=∑k=0∞k2λkk!e−λ=∑k=1∞kλk(k−1)!e−λ=e−λ∑k=1∞kλk(k−1)!

来了，吸收系数。

左右出现的用积分吸收，要能吸收得把自己的姿态摆低，即幂次要比系数小1才好吸收。那么抽出去一个 λ 即可。

e−λλ∑k=1∞kλk−1(k−1)!=e−λλ∑k=1∞(λk)′(k−1)!=e−λλ∑k=1∞(λk(k−1)!)′=e−λλ(λ∑k=0∞λkk!)′=e−λλ(λeλ)′=λ2+λ

好了， DX=λ 。

这些计算是不是一定要掌握，可以直接利用即可，但是通过这个推导可以touch到微积分中的无穷级数求和问题的三个重要的点：

• 首项为0的及时去掉
• 下标调整到和常用级数展开式一致
• 动用求导求积分吸收系数

这些是基本法，是理解掌握以后，内化的技能。如果没有掌握，则很难变通。

-以此自勉而已。

隔夜槽：CSDN的Latex解析要比马克飞象的语法解析在细节上有许多不同，或者更严格。边写边解析，就带不动了。