关于kruskal算法正确性的证明

证明过程：

• 首先，假设我们已经对所有边进行了排序，并且当前遍历到的边是连接点1和点2的边
• 因为这条边是最小的边，而点1和点2在最小生成树中一定会直接或间接的相连，因此任何从点1到点2的路径都不小于这条边。如图，如果不走这条边就只能走1→3→2（而如果这样走显然会使得1→2的距离过大，而我们当前只讨论1→2的最优选项）。或者，我们可以假设一种情况：点1和点2之间有两条权值为0.5的边，间接的连接了点1和点2，那么这条路径显然比当前权值为2的边的权值小。但是我们是从小到大遍历边的，所以如果出现了这种情况，那么由于比权值为2的这条边小，那么他们必定已经被遍历。
• 由于那条路径已经被遍历过，那么这时候点1和点2就处于一个并查集了，也就是说我们不会再选择边权为2的这条边了。
• 因此我们可以证明出一个结论：图中权值最小的这条边必然要被选择。
• 假设我们已经选择了直接连接点1和点2的这条边，那么我们就可以对点1和点2进行缩点，由于最小生成树的性质（只要有路径连接两个任意结点即可），缩点对建图没有任何影响。
• 重复以上操作，直到边的数量等于点的数量减一（一个图的最小生成树的边的数量必定等于这个图的点的数量减一）即可得出最小生成树。

拓展资料：

• 求有向图最小生成树需要使用朱刘算法