MATLAB学习笔记：方阵的相似对角化

>> A=[11 -6 4 -10 -4;-3 5 -2 4 1;-8 12 -3 12 4;1 6 -2 3 -1;8 -18 8 -14 -1];
>> [V D]=eig(A)

V =

   -0.3244   -0.4983   -0.7759   -0.2343   -0.5752
    0.1622    0.1878    0.0887   -0.0186    0.3890
    0.6489    0.5633    0.2660    0.5059    0.3724
    0.1622    0.0650   -0.5098    0.2903   -0.5919
   -0.6489   -0.6284    0.2438   -0.7775   -0.1695


D =

    3.0000         0         0         0         0
         0    5.0000         0         0         0
         0         0    5.0000         0         0
         0         0         0    1.0000         0
         0         0         0         0    1.0000

>> r=rank(V)

r =

     5

A有5个线性无关的特征向量，所以矩阵A可以相似对角化，取P=V，则

P^(-1)*A*P=D

>> B=[-2 1 -2;-5 3 -3;1 0 2];
>> [V d]=eig(B)

V =

   0.5774 - 0.0000i   0.5774 + 0.0000i  -0.5774          
   0.5773 - 0.0000i   0.5773 + 0.0000i  -0.5774          
  -0.5774            -0.5774             0.5773          


d =

   1.0000 + 0.0000i        0                  0          
        0             1.0000 - 0.0000i        0          
        0                  0             1.0000          

>> r=rank(V)

r =

     3

当A为实对称矩阵时，使用schur和eig可以求得正交的相似变换矩阵Q，使得Q^(-1)*A*Q为对角矩阵。

schur的调用格式为：

[Q,D]=schur(A)   D是由A的特征值构成的对角矩阵，Q是正交矩阵，满足Q^(-1)*A*Q=D。

>> A=[0 0 0.32;0.2 0 0;0 0.72 0.95];
>> [P1 D1]=eig(A)

P1 =

   0.6570             0.6570             0.3052          
  -0.0659 - 0.6075i  -0.0659 + 0.6075i   0.0613          
  -0.0476 + 0.4390i  -0.0476 - 0.4390i   0.9503          


D1 =

  -0.0232 + 0.2138i        0                  0          
        0            -0.0232 - 0.2138i        0          
        0                  0             0.9964   

线性无关，可以为一组基。

求m趋于无穷时候，xm的极限：

>> syms c1 c2 c3 m;
>> xm=c1*D1(1,1)^m*P1(:,1)+c2*D1(2,2)^m*P1(:,2)+c3*D1(3,3)^m*P1(:,3);
>> limit(xm,m,inf)
 
ans =
 
 0
 0
 0

因此， m趋于无穷时候，xm的极限为0.