矩阵相似——例题中证明的性质
文章目录
- 性质1~5
- 性质6~7
- 性质8（一定是某某矩阵的情况）
- 性质9
- 性质10
- 关于置换矩阵与相似的关系
- 置换矩阵的定义
- 性质1
- 证明
- 性质2
- 实战演练1
- 证明
- 实战演练2
- 证明
性质1~5
- 与幂零矩阵相似的矩阵仍是幂零
- 与对合相似的仍是对合
- 与幂零相似仍是幂零且它们的幂零指数相等
- 若 A 的 多 项 式 f ( A ) A的多项式f(A) A的多项式f(A)满足 f ( A ) = a 0 I + a 1 A + . . . + a m A m f(A)=a_0I+a_1A+...+a_mA^m f(A)=a0I+a1A+...+amAm且 A ∼ B A\sim B A∼B，那么 f ( A ) ∼ f ( B ) f(A)\sim f(B) f(A)∼f(B)
- 与周期矩阵相似的依然是周期矩阵，且它们的周期相同
- 周期矩阵：若有正整数 m m m满足 A m = I A^m=I Am=I就称 A A A为周期矩阵，使得 A m = I A^m=I Am=I成立的最小整数 m m m就是它 的周期。 A A A是数域上的 n n n级矩阵
性质6~7
- 若 A ∼ B A\sim B A∼B,则 A ′ ∼ B ′ A'\sim B' A′∼B′
- 若 n n n级矩阵 A A A可对角化，那么 A ∼ A ′ A\sim A' A∼A′
性质8（一定是某某矩阵的情况）
- 与单位矩阵相似的矩阵只有它自己
- 与数量矩阵 k I kI kI相似的矩阵也只有它自己，或者说：如果 n n n级矩阵 A A A的相似类里只有一个元素，那么 A A A一定是数量矩阵
- 证明：
- 任取一个可逆矩阵 P P P，则 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP一定 ∈ A \in A ∈A的相似类
- 由于与 A A A相似的只有自己，所以 P − 1 A P = A P^{-1}AP=A P−1AP=A ⇒ \Rightarrow ⇒ A P = P A AP=PA AP=PA由之前的结论可知，数域 K K K上与所有 n n n级可逆矩阵可交换的矩阵一定是 n n n级数量矩阵
性质9
若 A 1 ∼ B 1 , A 2 ∼ B 2 A_1\sim B_1,A_2\sim B_2 A1∼B1,A2∼B2，则 ( A 1 0 0 A 2 ) ∼ ( B 1 0 0 B 2 ) \begin{pmatrix}A_1&0\\0&A_2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}B_1&0\\0&B_2\end{pmatrix} (A100A2)∼(B100B2)
性质10
若 A A A可逆 ⇒ \Rightarrow ⇒ A B ∼ B A AB\sim BA AB∼BA
关于置换矩阵与相似的关系
置换矩阵的定义
- 每行只有一个元素是1
- 每列也只有一个元素是1
- 其余元素都是0的 n n n级矩阵 ⇒ \Rightarrow ⇒置换矩阵，即 P = ( ε i 1 , . . . , ε i n ) P=(\varepsilon_{i_1},...,\varepsilon_{i_n}) P=(εi1,...,εin)
性质1
置换矩阵 P P P可逆，且 P − 1 = P ′ P^{-1}=P' P−1=P′So, P − 1 P^{-1} P−1也是置换矩阵
证明
P ′ P = ( ε i 1 ′ . . . ε i n ′ ) ⋅ ( ε i 1 , . . . , ε i n ) P'P=\begin{pmatrix}\varepsilon_{i_1}'\\...\\\varepsilon_{i_n}'\end{pmatrix}\cdot(\varepsilon_{i_1},...,\varepsilon_{i_n}) P′P=⎝⎛εi1′...εin′⎠⎞⋅(εi1,...,εin) = I =I =I ⇒ \Rightarrow ⇒ P − 1 = P ′ P^{-1}=P' P−1=P′
性质2
实数域上的置换矩阵是正交矩阵
实战演练1
设 i 1 , . . . , i n i_1,...,i_n i1,...,in是1,…,n的一个排列（重排）， A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij)是 n n n阶矩阵，令 B = ( a i 1 i 1 a i 1 i 2 a i 1 i 3 . . . a i 1 i n a i 2 i 1 a i 2 i 2 a i 2 i 3 . . . a i 2 i n . . . . . . . . . . . . . . . a i n i 1 a i n i 2 a i n i 3 . . . a i n i n ) B=\begin{pmatrix}a_{i_1i_1}&a_{i_1i_2}&a_{i_1i_3}&...&a_{i_1i_n}\\a_{i_2i_1}&a_{i_2i_2}&a_{i_2i_3}&...&a_{i_2i_n}\\...&...&...&...&...\\a_{i_ni_1}&a_{i_ni_2}&a_{i_ni_3}&...&a_{i_ni_n}\end{pmatrix} B=⎝⎜⎜⎛ai1i1ai2i1...aini1ai1i2ai2i2...aini2ai1i3ai2i3...aini3............ai1inai2in...ainin⎠⎟⎟⎞证明： A ∼ B A\sim B A∼B
证明
啊，这种将元素重新排列的题，一看就要想到置换矩阵了！
- 轻松构造可逆（置换）矩阵 P = ( ε i 1 , . . . , ε i n ) P=(\varepsilon_{i_1},...,\varepsilon_{i_n}) P=(εi1,...,εin)
- 设 A = ( α 1 , . . . , α n ) , A=(\alpha_1,...,\alpha_n), A=(α1,...,αn),So P − 1 A P = P − 1 ( α 1 , . . . , α n ) ( ε i 1 , . . . , ε i n ) P^{-1}AP=P^{-1}(\alpha_1,...,\alpha_n)(\varepsilon_{i_1},...,\varepsilon_{i_n}) P−1AP=P−1(α1,...,αn)(εi1,...,εin) = P − 1 ( α i 1 , . . . , α i n ) =P^{-1}(\alpha_{i_1},...,\alpha_{i_n}) =P−1(αi1,...,αin) = ( ε i 1 ′ . . . ε i n ′ ) ( α i 1 , . . . , α i n ) =\begin{pmatrix}\varepsilon_{i_1}'\\...\\\varepsilon_{i_n}'\end{pmatrix}(\alpha_{i_1},...,\alpha_{i_n}) =⎝⎛εi1′...εin′⎠⎞(αi1,...,αin) = B =B =B
实战演练2
设 J 0 = ( 0 1 0 . . . 0 0 0 0 1 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 1 0 0 0 0 . . . 0 1 0 0 0 . . . 0 0 ) J_0=\begin{pmatrix}0&1&0&...&0&0\\0&0&1&...&0&0\\...&...&...&...&...\\0&0&0&...&1&0\\0&0&0&...&0&1\\0&0&0&...&0&0\end{pmatrix} J0=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛00...00010...00001...000..................00...10000010⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞证明： J 0 ∼ J 0 ′ J_0\sim J_0' J0∼J0′
证明
- 观察 J 0 ′ J_0' J0′ ( 0 0 0 . . . 0 0 1 0 0 . . . 0 0 0 1 0 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 . . . 1 0 ) \begin{pmatrix}0&0&0&...&0&0\\1&0&0&...&0&0\\0&1&0&...&0&0\\...&...&...&...&...\\0&0&0&...&0&0\\0&0&0&...&1&0\end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛010...00001...00000...00..................000...0100000⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
- 其实构造置换矩阵也不难，首先可以发现第n行和第1行换了个，所以 i 1 → n i_1\to n i1→n,而 a i 2 i 1 = 1 = a ( n − 1 ) n ⇒ a_{i_2i_1}=1=a_{(n-1)n}\Rightarrow ai2i1=1=a(n−1)n⇒ i 2 → n − 1 i_2\to n-1 i2→n−1… i n → 1 i_n\to 1 in→1
- 所以置换矩阵 P = ( ε n , . . . , ε 1 ) P=(\varepsilon_{n},...,\varepsilon_{1}) P=(εn,...,ε1)，又由于 J 0 = ( 0 , ε 1 , ε 2 , . . . , ε n − 1 ) J_0=(0,\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n-1}) J0=(0,ε1,ε2,...,εn−1)，所以 P − 1 J 0 P = P − 1 ( ε n − 1 , ε n − 2 , . . . , ε 1 , 0 ) P^{-1}J_0P=P^{-1}(\varepsilon_{n-1},\varepsilon_{n-2},...,\varepsilon_{1},0) P−1J0P=P−1(εn−1,εn−2,...,ε1,0) = J 0 ′ =J_0' =J0′