一：原始信号
从音频文件中读取出来的原始语音信号通常称为raw waveform，是一个一维数组，长度是由音频长度和采样率决定，比如采样率Fs为16KHz，表示一秒钟内采样16000个点，这个时候如果音频长度是10秒，那么raw waveform中就有160000个值，值的大小通常表示的是振幅。
二：（线性）声谱图
（1）对原始信号进行分帧加窗后，可以得到很多帧，对每一帧做FFT（快速傅里叶变换），傅里叶变换的作用是把时域信号转为频域信号，把每一帧FFT后的频域信号（频谱图）在时间上堆叠起来就可以得到声谱图，其直观理解可以形象地表示为以下几个图，图源见参考资料[1]。
（2）有些论文提到的DCT（离散傅里叶变换）和STFT（短时傅里叶变换）其实是差不多的东西。STFT就是对一系列加窗数据做FFT。而DCT跟FFT的关系就是：FFT是实现DCT的一种快速算法。
（3）FFT有个参数N，表示对多少个点做FFT，如果一帧里面的点的个数小于N就会zero-padding到N的长度。对一帧信号做FFT后会得到N点的复数，这个点的模值就是该频率值下的幅度特性。每个点对应一个频率点，某一点n（n从1开始）表示的频率为\(F_n = (n-1)*Fs/N\)，第一个点（n=1，Fn等于0）表示直流信号，最后一个点N的下一个点（n=N+1，Fn=Fs时，实际上这个点是不存在的）表示采样频率Fs。
（4）FFT后我们可以得到N个频点，频率间隔（也叫频率分辨率或）为 Fs / N，比如，采样频率为16000，N为1600，那么FFT后就会得到1600个点，频率间隔为10Hz，FFT得到的1600个值的模可以表示1600个频点对应的振幅。因为FFT具有对称性，当N为偶数时取N/2+1个点，当N为奇数时，取(N+1)/2个点，比如N为512时最后会得到257个值。
（5）用python_speech_feature库时可以看到有三种声谱图，包括振幅谱，功率谱（有些资料称为能量谱，是一个意思，功率就是单位时间的能量），log功率谱。振幅谱就是fft后取绝对值。功率谱就是在振幅谱的基础上平方然后除以N。log功率谱就是在功率谱的基础上取10倍lg，然后减去最大值。得到声谱图矩阵后可以通过matplotlib来画图。
（6）常用的声谱图都是STFT得到的，另外也有用CQT（constant-Q transform）得到的，为了区分，将它们分别称为STFT声谱图和CQT声谱图。
三：梅尔声谱图：
（1）人耳听到的声音高低和实际（Hz）频率不呈线性关系，用Mel频率更符合人耳的听觉特性（这正是用Mel声谱图的一个动机，由人耳听力系统启发），即在1000Hz以下呈线性分布，1000Hz以上呈对数增长，Mel频率与Hz频率的关系为\(f_{mel} = 2595 \cdot lg(1+\frac{f}{700Hz})\)，如下图所示，图源见参考资料[2]。有另一种计算方式为\(f_{mel} = 1125 \cdot ln(1+\frac{f}{700Hz})\)。下面给出一个计算Mel声谱图的例子。另，python中可以用librosa调包得到梅尔声谱图。
（2）假设现在用10个Mel filterbank（一些论文会用40个，如果求MFCC一般是用26个然后在最后取前13个），为了获得filterbanks需要选择一个lower频率和upper频率，用300作为lower，8000作为upper是不错的选择。如果采样率是8000Hz那么upper频率应该限制为4000。然后用公式把lower和upper转为Mel频率，我们使用上述第二个公式（ln那条），可以得到401.25Mel 和 2834.99Mel。
（3）因为用10个滤波器，所以需要12个点来划分出10个区间，在401.25Mel和2834.99Mel之间划分出12个点，m(i) = (401.25, 622.50, 843.75, 1065.00, 1286.25, 1507.50, 1728.74, 1949.99, 2171.24, 2392.49, 2613.74, 2834.99)。
（4）然后把这些点转回Hz频率，h(i) = (300, 517.33, 781.90, 1103.97, 1496.04, 1973.32, 2554.33, 3261.62, 4122.63, 5170.76, 6446.70, 8000)。
（5）把这些频率转为fft bin，f(i) = floor( (N+1)*h(i)/Fs)，N为FFT长度，默认为512，Fs为采样频率，默认为16000Hz，则f(i) = (9, 16, 25, 35, 47, 63, 81, 104, 132, 165, 206, 256)。这里256刚好对应512点FFT的8000Hz。
（6）然后创建滤波器，第一个滤波器从第一个点开始，在第二个点到达最高峰，第三个点跌回零。第二个滤波器从第二个点开始，在第三个点到达最大值，在第四个点跌回零。以此类推。滤波器的示意图如下图所示，图源见参考资料[3]。可以看到随着频率的增加，滤波器的宽度也增加。
（7）接下来给出滤波器输出的计算公式，如下所示，其中m从1到M，M表示滤波器数量，这里是10。k表示点的编号，一个fft内256个点，k从1到256，表示了fft中的256个频点（k=0表示直流信号，算进来就是257个频点，为了简单起见这里省略k=0的情况）。
\[H_m(k) = \left\{\begin{matrix} \frac{k-f(m-1)}{f(m)-f(m-1)} & f(m-1) \leq k \leq f(m)\\ \frac{f(m+1)-k}{f(m+1)-f(m)} & f(m) \leq k \leq f(m+1) \\ 0 & others \\ \end{matrix}\right.\]
（8）最后还要乘上fft计算出来的能量谱，关于能量谱在前一节（线性）声谱图中已经讲过了。将滤波器的输出应用到能量谱后得到的就是梅尔谱，具体应用公式如下，其中\(|X(k)|^2\)表示能量谱中第k个点的能量。以每个滤波器的频率范围内的输出作为权重，乘以能量谱中对应频率的对应能量，然后把这个滤波器范围内的能量加起来。举个例子，比如第一个滤波器负责的是9和16之间的那些点（在其它范围的点滤波器的输出为0），那么只对这些点对应的频率对应的能量做加权和。
\[MelSpec(m) = \sum_{k=f(m-1)}^{f(m+1)} H_m(k) * |X(k)|^2\]
（9）这样计算后，对于一帧会得到M个输出。经常会在论文中看到说40个梅尔滤波器输出，指的就是这个（实际上前面说的梅尔滤波器输出是权重H，但是这里的意思应该是将滤波器输出应用到声谱后得到的结果，根据上下文可以加以区分）。然后在时间上堆叠多个“40个梅尔滤波器输出”就得到了梅尔尺度的声谱（梅尔谱），如果再取个log，就是log梅尔谱，log-Mels。
（10）把滤波器范围内的能量加起来，可以解决一个问题，这个问题就是人耳是很难理解两个靠的很近的线性频率（就是和梅尔频率相对应的赫兹频率）之间不同。如果把一个频率区域的能量加起来，只关心在每个频率区域有多少能量，这样人耳就比较能区分，我们希望这种方式得到的（Mel）声谱图可以更加具有辨识度。最后取log的motivation也是源于人耳的听力系统，人对声音强度的感知也不是线性的，一般来说，要使声音的音量翻倍，我们需要投入8倍的能量，为了把能量进行压缩，所以取了log，这样，当x的log要翻倍的话，就需要增加很多的x。另外一个取log的原因是为了做倒谱分析得到MFCC，具体细节见下面MFCC的介绍。
四：MFCC
（1）MFCC，梅尔频率的倒谱系数，是广泛应用于语音领域的特征，在这之前常用的是线性预测系数Linear Prediction Coefficients（LPCs）和线性预测倒谱系数（LPCCs），特别是用在HMM上。
（2）先说一下获得MFCC的步骤，首先分帧加窗，然后对每一帧做FFT后得到（单帧）能量谱（具体步骤见上面线性声谱图的介绍），对线性声谱图应用梅尔滤波器后然后取log得到log梅尔声谱图（具体步骤见上面梅尔声谱图的介绍），然后对log滤波能量（log梅尔声谱）做DCT，离散余弦变换（傅里叶变换的一种），然后保留第二个到第13个系数，得到的这12个系数就是MFCC。
（3）然后再大致说说MFCC的含义，下图第一个图（图源见参考资料[1]）是语音的频谱图，峰值是语音的主要频率成分，这些峰值称为共振峰，共振峰携带了声音的辨识（相当于人的身份证）。把这些峰值平滑地连起来得到的曲线称为频谱包络，包络描述了携带声音辨识信息的共振峰，所以我们希望能够得到这个包络来作为语音特征。频谱由频谱包络和频谱细节组成，如下第二个图（图源见参考资料[1]）所示，其中log X[k]代表频谱（注意图中给出的例子是赫兹谱，这里只是举例子，实际我们做的时候通常都是用梅尔谱），log H[k]代表频谱包络，log E[k]代表频谱细节。我们要做的就是从频谱中分离得到包络，这个过程也称为倒谱分析，下面就说说倒谱分析是怎么做的。
（4）要做的其实就是对频谱做FFT，在频谱上做FFT这个操作称为逆FFT，需要注意的是我们是在频谱的log上做的，因为这样做FFT后的结果x[k]可以分解成h[k]和e[k]的和。我们先看下图（图源见参考资料[1]），对包络log H[k]做IFFT的结果，可以看成“每秒4个周期的正弦波”，于是我们在伪频率轴上的4Hz上给一个峰值，记作h[k]。对细节log E[k]做IFFT的结果，可以看成“每秒100个周期的正弦波”，于是我们在伪频率轴上的100Hz上给一个峰值，记作e[k]。对频谱log X[k]做IFFT后的结果记作x[k]，这就是我们说的倒谱，它会等于h[k]和e[k]的叠加，如下第二个图所示。我们想要得到的就是包络对应的h[k]，而h[k]是x[k]的低频部分，只需要对x[k]取低频部分就可以得到了。
（5）最后再总结一下得到MFCC的步骤，求线性声谱图，做梅尔滤波得到梅尔声谱图，求个log得到log梅尔谱，做倒谱分析也就是对log X[k]做DCT得到x[k]，取低频部分就可以得到倒谱向量，通常会保留第2个到第13个系数，得到12个系数，这12个系数就是常用的MFCC。图源见参考资料[1]。
五：deltas，deltas-deltas
（1）deltas和deltas-deltas，看到很多人翻译成一阶差分和二阶差分，也被称为微分系数和加速度系数。使用它们的原因是，MFCC只是描述了一帧语音上的能量谱包络，但是语音信号似乎有一些动态上的信息，也就是MFCC随着时间的改变而改变的轨迹。有证明说计算MFCC轨迹并把它们加到原始特征中可以提高语音识别的表现。
（2）以下是deltas的一个计算公式，其中t表示第几帧，N通常取2，c指的就是MFCC中的某个系数。deltas-deltas就是在deltas上再计算以此deltas。
\[d_t = \frac{\sum_{n=1}^{N} n(c_{t+n}-c_{t-n})}{2 \sum_{n=1}^{N} n^2}\]
（3）对MFCC中每个系数都做这样的计算，最后会得到12个一阶差分和12个二阶差分，我们通常在论文中看到的“MFCC以及它们的一阶差分和二阶差分”指的就是这个。
（4）值得一提的是deltas和deltas-deltas也可以用在别的参数上来表述动态特性，有论文中是直接在log Mels上做一阶差分和二阶差分的，论文笔记：语音情感识别（二）声谱图+CRNN中3-D Convolutional Recurrent Neural Networks with Attention Model for Speech Emotion Recognition这篇论文就是这么做的。
六：参考资料
[1] CMU语音课程slides
[2] 一个MFCC的介绍教程
[3] csdn-MFCC计算过程
[4] 博客园-MFCC学习笔记