目录
- 时间复杂度、空间复杂度、排序、异或运算
- 时间复杂度
- 排序操作
- 选择排序
- 冒泡排序
- 插入排序
- 排序操作
- 空间复杂度
- 常数项时间复杂度
- 算法最优解
- 常见时间复杂度
- 算法和数据结构脉络
- 认识对数器
- 认识二分法
- 认识异或运算
- 时间复杂度
时间复杂度、空间复杂度、排序、异或运算
时间复杂度
- 常数时间操作：
- 算数运算：+ - * /
- 位运算：>>（带符号右移动）、 >>>（不带符号右移动） 、 <<、 | 、& 、^
带符号就是最高位补符号位，不带符号就是最高位补0
- 赋值操作：比较，自增，自减操作
- 数组寻址等
总之，执行时间固定的操作都是常数时间的操作。反之执行时间不固定的操作，都不是常数时间的操作
- 通过基本动作的常数时间，推导时间复杂度
对于双层循环来说，n（常数）+ (n-1)(常数)+ ... + 2(常数) + 1（常数） => 推导出
y = an^2 + bn + c
忽略掉低阶项，忽略掉常数项，忽略掉高阶项的系数，得到时间复杂度为n^2
排序操作
选择排序
package class01;
import java.util.Arrays;
public class Code01_SelectionSort {
public static void selectionSort(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return;
}
// 0 ~ N-1
// 1~n-1
// 2
for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) { // i ~ N-1
// 最小值在哪个位置上 i～n-1
int minIndex = i;
for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) { // i ~ N-1 上找最小值的下标
minIndex = arr[j] < arr[minIndex] ? j : minIndex;
}
swap(arr, i, minIndex);
}
}
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
int tmp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = tmp;
}
// for test
public static void comparator(int[] arr) {
Arrays.sort(arr);
}
// for test
public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
// Math.random() [0,1)
// Math.random() * N [0,N)
// (int)(Math.random() * N) [0, N-1]
int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
// [-? , +?]
arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
}
return arr;
}
// for test
public static int[] copyArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return null;
}
int[] res = new int[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
res[i] = arr[i];
}
return res;
}
// for test 对数器
public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
return false;
}
if (arr1 == null && arr2 == null) {
return true;
}
if (arr1.length != arr2.length) {
return false;
}
for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
if (arr1[i] != arr2[i]) {
return false;
}
}
return true;
}
// for test
public static void printArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return;
}
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
System.out.println();
}
// for test
public static void main(String[] args) {
int testTime = 500000;
int maxSize = 100;
int maxValue = 100;
boolean succeed = true;
for (int i = 0; i < testTime; i++) {
int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
int[] arr2 = copyArray(arr1);
selectionSort(arr1);
comparator(arr2);
if (!isEqual(arr1, arr2)) {
succeed = false;
printArray(arr1);
printArray(arr2);
break;
}
}
System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");
int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
printArray(arr);
selectionSort(arr);
printArray(arr);
}
}
冒泡排序
package class01;
import java.util.Arrays;
public class Code02_BubbleSort {
public static void bubbleSort(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return;
}
// 0 ~ N-1
// 0 ~ N-2
// 0 ~ N-3
for (int e = arr.length - 1; e > 0; e--) { // 0 ~ e
for (int i = 0; i < e; i++) {
if (arr[i] > arr[i + 1]) {
swap(arr, i, i + 1);
}
}
}
}
// 交换arr的i和j位置上的值
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
}
// for test
public static void comparator(int[] arr) {
Arrays.sort(arr);
}
// for test
public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
}
return arr;
}
// for test
public static int[] copyArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return null;
}
int[] res = new int[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
res[i] = arr[i];
}
return res;
}
// for test
public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
return false;
}
if (arr1 == null && arr2 == null) {
return true;
}
if (arr1.length != arr2.length) {
return false;
}
for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
if (arr1[i] != arr2[i]) {
return false;
}
}
return true;
}
// for test
public static void printArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return;
}
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
System.out.println();
}
// for test
public static void main(String[] args) {
int testTime = 500000;
int maxSize = 100;
int maxValue = 100;
boolean succeed = true;
for (int i = 0; i < testTime; i++) {
int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
int[] arr2 = copyArray(arr1);
bubbleSort(arr1);
comparator(arr2);
if (!isEqual(arr1, arr2)) {
succeed = false;
break;
}
}
System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");
int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
printArray(arr);
bubbleSort(arr);
printArray(arr);
}
}
插入排序
package class01;
import java.util.Arrays;
public class Code03_InsertionSort {
public static void insertionSort(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return;
}
// 0~0 有序的
// 0~i 想有序
for (int i = 1; i < arr.length; i++) { // 0 ~ i 做到有序
for (int j = i - 1; j >= 0 && arr[j] > arr[j + 1]; j--) {
swap(arr, j, j + 1);
}
}
}
// i和j是一个位置的话，会出错
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
}
// for test
public static void comparator(int[] arr) {
Arrays.sort(arr);
}
// for test
public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
// Math.random() -> [0,1) 所有的小数，等概率返回一个
// Math.random() * N -> [0,N) 所有小数，等概率返回一个
// (int)(Math.random() * N) -> [0,N-1] 所有的整数，等概率返回一个
int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())]; // 长度随机
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random())
- (int) (maxValue * Math.random());
}
return arr;
}
// for test
public static int[] copyArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return null;
}
int[] res = new int[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
res[i] = arr[i];
}
return res;
}
// for test
public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
return false;
}
if (arr1 == null && arr2 == null) {
return true;
}
if (arr1.length != arr2.length) {
return false;
}
for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
if (arr1[i] != arr2[i]) {
return false;
}
}
return true;
}
// for test
public static void printArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return;
}
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
System.out.println();
}
// for test
public static void main(String[] args) {
int testTime = 500000;
int maxSize = 100; // 随机数组的长度0～100
int maxValue = 100;// 值：-100～100
boolean succeed = true;
for (int i = 0; i < testTime; i++) {
int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
int[] arr2 = copyArray(arr1);
insertionSort(arr1);
comparator(arr2);
if (!isEqual(arr1, arr2)) {
// 打印arr1
// 打印arr2
succeed = false;
break;
}
}
System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");
int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
printArray(arr);
insertionSort(arr);
printArray(arr);
}
}
插入排序和前面两种排序的不同是在于，插入排序跟数组初始顺序有关，在初始有序的情况下，有可能时间复杂度为O(N),有可能为O(N ^2)，但是我们估计时间复杂度要按照最差的情况来估计，所以插入排序的时间复杂度仍然O(N ^2)
空间复杂度
申请有限几个变量，和样本量n没关系，就是空间复杂度O(1)，如果要开辟一个空间数组和样本量n是一样大，用来支持我们的算法流程那么O(N)。反之用户就是要实现数组拷贝，我们开辟一个新的n大小数组用来支撑用户的需求，那么仍然是O(1)
常数项时间复杂度
如果两个相同时间复杂度的算法要比较性能，这个时候需要比较单个常数项时间，对能力要求较高，没有意义，不如样本量试验实际测试来比较
算法最优解
我们认为最优解的考虑顺序是，先满足时间复杂度指标，再去使用较少的空间。一般来说，算法题，ACM等不会卡常数项时间
常见时间复杂度
依次从好到坏 O(1) -> O(logN) -> O(N) -> O(N*logN) -> O(N^2) -> O(N^3) ... -> O(N!)
算法和数据结构脉络
- 知道怎么算的算法
- 知道怎么试的算法(递归)
认识对数器
- 准备你想要测试的方法a
- 实现一个复杂度不好，但是容易实现的方法b
- 实现一个随机样本产生器
- 把方法a和方法b跑相同的随机样本，看看得到的结果是否一样
- 如果有一个随机样本使得对比结果不一致，打印样本进行人工干预，改对方法a和方法b
- 当样本数量很多，测试对比依然正确，可以确定方法a已经正确
认识二分法
- 在一个有序数组中，找某个数是否存在
二分查找值，基于有序数组，算法复杂度为二分了多少次，O(log2N)可以写成O(logN)
123579
package class01;
import java.util.Arrays;
public class Code04_BSExist {
public static boolean exist(int[] sortedArr, int num) {
if (sortedArr == null || sortedArr.length == 0) {
return false;
}
int L = 0;
int R = sortedArr.length - 1;
int mid = 0;
// L..R
while (L < R) {
// mid = (L+R) / 2;
// L 10亿 R 18亿
// mid = L + (R - L) / 2
// N / 2 N >> 1
mid = L + ((R - L) >> 1); // mid = (L + R) / 2
if (sortedArr[mid] == num) {
return true;
} else if (sortedArr[mid] > num) {
R = mid - 1;
} else {
L = mid + 1;
}
}
return sortedArr[L] == num;
}
// for test
public static boolean test(int[] sortedArr, int num) {
for(int cur : sortedArr) {
if(cur == num) {
return true;
}
}
return false;
}
// for test
public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
}
return arr;
}
public static void main(String[] args) {
int testTime = 500000;
int maxSize = 10;
int maxValue = 100;
boolean succeed = true;
for (int i = 0; i < testTime; i++) {
int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
Arrays.sort(arr);
int value = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
if (test(arr, value) != exist(arr, value)) {
succeed = false;
break;
}
}
System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");
}
}
- 在一个有序数组中，找>=某个数最左侧的位置
122222333578888999999 找大于等于2最左侧的位置
package class01;
import java.util.Arrays;
public class Code05_BSNearLeft {
// 在arr上，找满足>=value的最左位置
public static int nearestIndex(int[] arr, int value) {
int L = 0;
int R = arr.length - 1;
int index = -1; // 记录最左的对号
while (L <= R) {
int mid = L + ((R - L) >> 1);
if (arr[mid] >= value) {
index = mid;
R = mid - 1;
} else {
L = mid + 1;
}
}
return index;
}
// for test
public static int test(int[] arr, int value) {
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
if (arr[i] >= value) {
return i;
}
}
return -1;
}
// for test
public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
}
return arr;
}
// for test
public static void printArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return;
}
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
System.out.println();
}
public static void main(String[] args) {
int testTime = 500000;
int maxSize = 10;
int maxValue = 100;
boolean succeed = true;
for (int i = 0; i < testTime; i++) {
int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
Arrays.sort(arr);
int value = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
if (test(arr, value) != nearestIndex(arr, value)) {
printArray(arr);
System.out.println(value);
System.out.println(test(arr, value));
System.out.println(nearestIndex(arr, value));
succeed = false;
break;
}
}
System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");
}
}
- 在一个有序数组中，找<=某个数最右侧的位置
package class01;
import java.util.Arrays;
public class Code05_BSNearRight {
// 在arr上，找满足<=value的最右位置
public static int nearestIndex(int[] arr, int value) {
int L = 0;
int R = arr.length - 1;
int index = -1; // 记录最右的对号
while (L <= R) {
int mid = L + ((R - L) >> 1);
if (arr[mid] <= value) {
index = mid;
L = mid + 1;
} else {
R = mid - 1;
}
}
return index;
}
// for test
public static int test(int[] arr, int value) {
for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {
if (arr[i] <= value) {
return i;
}
}
return -1;
}
// for test
public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
}
return arr;
}
// for test
public static void printArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return;
}
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
System.out.println();
}
public static void main(String[] args) {
int testTime = 500000;
int maxSize = 10;
int maxValue = 100;
boolean succeed = true;
for (int i = 0; i < testTime; i++) {
int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
Arrays.sort(arr);
int value = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
if (test(arr, value) != nearestIndex(arr, value)) {
printArray(arr);
System.out.println(value);
System.out.println(test(arr, value));
System.out.println(nearestIndex(arr, value));
succeed = false;
break;
}
}
System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");
}
}
- 局部最小值问题
无序数组，任意两个相邻的数不相等，返回一个局部最小值
package class01;
public class Code06_BSAwesome {
public static int getLessIndex(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length == 0) {
return -1; // no exist
}
if (arr.length == 1 || arr[0] < arr[1]) {
return 0;
}
if (arr[arr.length - 1] < arr[arr.length - 2]) {
return arr.length - 1;
}
int left = 1;
int right = arr.length - 2;
int mid = 0;
while (left < right) {
mid = (left + right) / 2;
if (arr[mid] > arr[mid - 1]) {
right = mid - 1;
} else if (arr[mid] > arr[mid + 1]) {
left = mid + 1;
} else {
return mid;
}
}
return left;
}
}
认识异或运算
异或运算：相同为0，不同为1
同或运算：相同为1， 不同为0，不掌握
上述特别不容易记住，异或运算就记成无进位相加：比如十进制6异或7，就理解为110和111按位不进位相加,得到001
- 所以 0^N = N ， N^N = 0
- 异或运算满足交换律和结合律,所以A异或B异或C = A异或(B异或C) = (A异或C)异或B
题目一：如何不用额外变量就交换两个数
a = x b = y两个数交换位置
a = a ^ b # 第一步操作，此时 a = x^y , b=y
b = a ^ b # 第二步操作，此时 a = x^y , b = x^y^y => b = x^0 => b = x
a = a ^ b # 第三步操作，此时 a = x^y^x, b = x, a=> x^x^y => a=y
三步操作，实现交换ab的值
package class01;
public class Test {
public static void main(String[] args) {
int a = 6;
int b = 6;
a = a ^ b;
b = a ^ b;
a = a ^ b;
System.out.println(a);
System.out.println(b);
int[] arr = {3,1,100};
System.out.println(arr[0]);
System.out.println(arr[2]);
swap(arr, 0, 0);
System.out.println(arr[0]);
System.out.println(arr[2]);
}
public static void swap (int[] arr, int i, int j) {
// arr[0] = arr[0] ^ arr[0];
arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
}
}
注意，如果a和b指向同一块内存，改方法不可行
题目二：一个数组中有一种数出现了奇数次，其他数都出现了偶数次，怎么找到并打印这种数
[2,2,1,3,2,3,2,1,1] 数组中存在四个2，两个3，三个1，定义一个常量等于0，分别对该数组中的数遍历一遍进行异或，最后，该变量等于多少，那么奇数的值就是多少。因为异或运算满足交换和结合律
题目三：怎么把一个int类型的数，提取出最右侧的1来
n与上（n取反加1）即可 => N & ( (~N)+1 )
题目四：一个数组中有两种不相等的数出现了奇数次，其他数出现了偶数次，怎么找到并打印这两种数
定义一个常量eor = 0，分别对该数组每个数异或，最终结果为a异或b，其中a和b就是这两个奇数，由于a!=b所以a异或b不等于0，即eor的值某一位上一定为1（有可能不止一个1随便选一个例如第八位），用该位做标记对原有数组的数进行分类，那么a和b由于第八位不相同一定被分开，再定义常量eor' = 0分别对第八位为0的数异或，那么得到的值，就是a和b其中一个，由于之前eor = a异或b，那么在用eor和eor'异或，就是另外一个值。一般来说，随便找一个1我们就找最右侧的那个1，如题目三
package class01;
public class Code07_EvenTimesOddTimes {
// arr中，只有一种数，出现奇数次
public static void printOddTimesNum1(int[] arr) {
int eor = 0;
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
eor ^= arr[i];
}
System.out.println(eor);
}
// arr中，有两种数，出现奇数次
public static void printOddTimesNum2(int[] arr) {
int eor = 0;
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
eor ^= arr[i];
}
// eor = a ^ b
// eor != 0
// eor必然有一个位置上是1
// 0110010000
// 0000010000
int rightOne = eor & (~eor + 1); // 提取出最右的1
int onlyOne = 0; // eor'
for (int i = 0 ; i < arr.length;i++) {
// arr[i] = 111100011110000
// rightOne= 000000000010000
if ((arr[i] & rightOne) != 0) {
onlyOne ^= arr[i];
}
}
System.out.println(onlyOne + " " + (eor ^ onlyOne));
}
public static int bit1counts(int N) {
int count = 0;
// 011011010000
// 000000010000 1
// 011011000000
//
while(N != 0) {
int rightOne = N & ((~N) + 1);
count++;
N ^= rightOne;
// N -= rightOne
}
return count;
}
public static void main(String[] args) {
int a = 5;
int b = 7;
a = a ^ b;
b = a ^ b;
a = a ^ b;
System.out.println(a);
System.out.println(b);
int[] arr1 = { 3, 3, 2, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1 };
printOddTimesNum1(arr1);
int[] arr2 = { 4, 3, 4, 2, 2, 2, 4, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 4, 2, 2 };
printOddTimesNum2(arr2);
}
}