小白练习赛12☞C.华华给月月出题

题目描述

华华刚刚帮月月完成了作业。为了展示自己的学习水平之高超，华华还给月月出了一道类似的题：
$Ans={⨁}_{i=1}^N(i^{N}mod(10^9+7))$
$⨁$符号表示异或和，详见样例解释。
虽然月月写了个程序暴力的算出了答案，但是为了确保自己的答案没有错，希望你写个程序帮她验证一下。

输入描述：

输入一个正整数N。

输出描述：

输出答案Ans。

note：

$1\le N\le 1.3\ast 10^7$

看完题目忍不住要给数学大佬们献上膝盖

题解：
设$F(n)={⨁}_{i=1}^N(f(i)),f(x)=x^{N}mod(10^9+7)$
$\because f(x\ast y)=f(x)\ast f(y)$
$\therefore f(x)是积性函数$
所以可以预处理[1, N]的素数集的$f(x)$，而[1,N]非素数的$f(x)$可以通过积性函数的性质得到。
code

#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 1.3e7+10;
const long long mod = 1e9+7;
bool prime[maxn];
int w[maxn], cnt = 0;
long long f[maxn];
int n;
long long Pow(long long x, long long p){
	long long ans = 1;
	while(p){
		if(p & 1) ans = (ans*x)%mod;
		x = (x*x)%mod;
		p>>=1;
	}
	return ans;
}
void solve(){
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(prime[i]) continue;
		f[i] = Pow(i, n);
		w[cnt++] = i;
		for(int j = i<<1; j <= n; j+=i){
			prime[j] = true;
		}
	}
	long long ans = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(!prime[i]) ans^=f[i];
		else{
			int k = i;
			for(int j = 0; j < cnt; j++){
				if(i%w[j]==0){
					f[i] = (f[w[j]]*f[i/w[j]])%mod;
					break;	
				}
			}
			ans^=f[i];
		}
	}
	printf("%lld\n", ans);
}
int main(){
	scanf("%d", &n);
	solve();
	return 0;
}