3D空间变换

1、等距变换（欧式变换）

它相当于是平移变换（t）和旋转变换（R）的复合，等距变换前后长度，面积，线线之间的角度都不变。

自由度 6 (旋转变换R自由度+3，平移变换t自由度+3)
$$T=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]$$

//4x4矩阵
//Eigen::Isometry3d

Eigen::Isometry3d T = Eigen::Isometry3d::Identity( );  // 三维变换矩阵
T.rotate( rotation_vector );  // 旋转部分赋值
T.pretranslate( Eigen::Vector3d( 1, 0, 0 ) );  // 设置平移向量
cout << "Transform matrix = \n" << T.matrix( ) << endl;

2、相似变换

等距变换和均匀缩放（S）的一个复合，类似相似三角形，体积比不变。

自由度 7 （欧式变换+6，和欧式变换相比多个一个缩放参数s，自由度+1）
$$T_S=\left[\begin{array}{cc}sR& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]$$

//4x4矩阵
double s;
Eigen::Isometry3d Ts = Eigen::Isometry3d::Identity( );  // 三维变换矩阵
Ts.rotate( s*rotation_vector );  // 旋转部分赋值
Ts.pretranslate( Eigen::Vector3d( 1, 0, 0 ) );  // 设置平移向量
cout << Ts.matrix( ) << endl;

3、仿射变换（正交投影）

一个平移变换（t）和一个非均匀变换（A）的复合，A是可逆矩阵，并不要求是正交矩阵。

仿射变换的不变量是:平行线，平行线的长度的比例，面积的比例

自由度12 （非奇异线性变换A自由度+9，平移变换t自由度+3）
$$T_A=\left[\begin{array}{cc}A& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]$$
可以看出，仿射变换就是对图像的旋转+平移+缩放+切变（shear），相比前两种变换图像的形状发生了改变，但是原图中的平行线仍然保持平行。

//4x4矩阵
//Eigen::Affine3d

4、射影变换（透视变换）

当图像中的点的齐次坐标的一般非奇异线性变换(A),射影变换的不变量是:重合关系、长度的交比

自由度15 （非奇异线性变换A自由度+9，平移变换t自由度+3，缩放变换v自由度+3），缩放变换v是对每个坐标的缩放，当s不为0时，由于采用齐次坐标，因此整个变换矩阵除以s，可以得到右下角为1的矩阵，当s=0时，是右下角为0的矩阵。
$$\begin{gathered} T_S=\left[\begin{array}{cc}A& t\\ v^T& s\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& a_{31}& t_1\\ a_{12}& a_{22}& a_{32}& t_2\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}& t_3\\ v_1& v_2& v_3& s\end{array}\right] \\ ⟶x\ast v_1+y\ast v_2+z\ast v_3+s=1 \end{gathered}$$

//4x4矩阵
//Eigen::Projective3d

参考

https://wenku.baidu.com/view/6f1bcf28cfc789eb172dc81b.html?rec_flag=default&sxts=1564016659312

https://wenku.baidu.com/view/e2889780d4bbfd0a79563c1ec5da50e2524dd1c0.html?rec_flag=default&sxts=1564016877094

https://wenku.baidu.com/view/c26e2a3cdd3383c4bb4cd29a.html?from=search

《计算机图形学》第九、十章