[note] 微积分 Part 10 无穷级数（一） 数项级数

一尺之棰，日取其半，万世不竭。——庄子

估算圆周率$\pi$之类的无理数，核心的方法都和这句话有某种相通之处。思想在于大量的模拟。无穷级数的想法大都是类似这样的大量模拟。

Taylor公式已经具有估算能力了？为什么还需要利用级数来估计呢？
Taylor公式是一个具有一定误差的计算结果，但引入级数，我们的想法就是将这个余项完全消除。

1. 数项级数

准备：柯西收敛原理(略

1.1. 数项级数

1.1.1. 级数

在对背景问题的分析中，从直观上定义级数是一个序列的依次的无限项和。
但这个无限项的和，首先并不是真正的和，因为无限个数相加，结果时常并不是一个数。所以我们利用连加符号，将

形如
$$a_1+a_2+\cdots +a_k+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$$
的式子称为（无穷）级数，其中$a_k$称为其通项。

注：

1. 粗略地讲，（无穷）级数正是无穷个数的和式，
2. 由于无穷项并不能完全写出，所以右式是一个形式和。
3. 正因为这个形式性，我们不能直接对级数（作为和式的）最直观性质即值进行讨论。

1.1.2. 数项级数举例

• 几何级数：
  $$1+q^2+\cdots +q^k+\cdots$$
• 无限小数
  $$0.a_1{a}_2\cdots a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots +\frac{a_k}{10^k}+\cdots$$

前面已经说到，为了利用先前已有的对和式的研究，继续讨论级数，
首先要对这个形式和进行适当的量化，所以我们引入：

2. 数项级数的基本问题——收敛性

微积分的重要思想就是利用有限加极限来认识无限 ——武忠祥

这句话告诉我们，级数的也有类似极限的两大主要问题：

1. 敛散性判别（极限问题）
2. 求极限　　（有限问题）

其中判断敛散性的问题是主要的：

1. 数项级数发散时，题目2无意义；
2. 对一般的数项级数，没有很好的求和方法（这在性质上区别于幂级数和傅里叶级数）

所以，接下来，我们主要从敛散性的角度，借用数项级数来基本熟悉级数的基本理论。

首先引入一个概念，这是我们讨论收敛的基础。

2.0.3. 部分和

设$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$是一个级数，那么我们称
$$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$$
是原级数的部分和。

用极限的语言说，级数对应着数列极限，而这个数列就是部分和，

2.1. 收敛的定义——证明题的依据

若$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S\in \mathbb{R}$，则我们称原级数收敛，称为该级数的和。
若部分和序列无极限，则称原级数发散。

2.2. 收敛举例

2.2.1. 等比级数（$\ast$）

1. $q=1$
   $S_n=na\to \infty$
   不收敛

2. $q=-1$
   $$S_n=a-a+a-a+\cdots +(-1{)}^{n-1}a$$
   $$=\{\begin{array}{l}0,n=2k\\ a,n=2k=1\end{array}$$
   不收敛

3. 等比求和：
   $$\begin{array}{rl}{S}_n& =a(1+q+\cdots +q^{n-1})\\ & =\frac{a(1+q+\cdots +q^{n-1})(1-q)}{1-q}\\ & =\frac{a(1-q^n)}{(1-q)}\\ & =\{\begin{array}{l}\frac{a}{1-q},|q|<1\\ \infty ,|q|>1\end{array}\end{array}$$

2.2.2. 无限小数

$$0.aaaaa\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }\frac{a}{10^k}=\frac{1}{10}\sum _{k=1}^{\infty }(\frac{1}{10}{)}^{n-1}=\frac{1}{10}\frac{a}{1-\frac{1}{10}}=\frac{a}{9}$$
从而我们可以证明$0.\dot{3}=\frac{1}{3},0.\dot{9}=1$

2.3. 数项级数收敛的必要条件

$$\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_k=0$$
证明：级数的部分和确定了通项
$$a_n=\sum _{k=1}^n{a}_k-\sum _{k=1}^{n-1}{a}_k=S_n-S_{n-1}$$
所以收敛意味着$\underset{n\to \infty }{\lim }=S\in \mathbb{R}$
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_k=S-S=0$$

但不是充分条件，如调和级数。

2.4. 数项级数收敛的充要条件

其正确性和Cauchy收敛原理是紧密关联的。
$\forall \epsilon >0,\exists N,s.t.$当$n\ge N,\forall p\ge 1$时有
$$|\sum _{k=n+1}^{n+p}-0|<\epsilon$$

例：

• （调和级数）$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$,$\forall N,\exists n=p=N$有$\left(\sum _{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}\right)\ge \frac{1}{2}$
  发散

调和级数也可以使用积分放缩来求解：
$$\frac{1}{n+1}={\int }_n^{n+1}\frac{1}{n+1}\mathrm{d}x<{\int }_n^{n+1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x<{\int }_n^{n+1}\frac{1}{n}\mathrm{d}x=\frac{1}{n}$$

• （二级数）$\sum _{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k^2}$利用裂项放缩，原级数$<\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}$

注：p（$p\ge 2$）级数都收敛，它们的性质都优于调和级数

2.5. 收敛级数的性质

我们更多地发现，部分和不一定可以简单地写成显式的，初等的表达式，部分和之差也不一定可以很容易放缩成可以利用Cauchy收敛原理求证的，所以我们还需要讨论级数的性质。

2.5.1. 线性性质

两条：收敛级数的数乘；收敛级数的加和

性质二的补充：

1. 收敛$\pm$发散必然发散
2. 发散$\pm$发散敛散性不定

2.5.2. 对有限项的敛散保持性

利用Cauchy收敛原理，对两个级数$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$与$\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$，若$\exists Ns.t.k\ge N,a_k=b_k$，那么它们的柯西条件真值相同。
从而，在级数前添加有限项或者删除有限项，所成的新级数与原级数敛散性不变。

2.5.3. 级数的结合律（重要）

收敛级数任意加括号，级数仍然收敛。

设$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_n$收敛，那么其对应的加括号后中的各个部分$b_n$序列都是原级数的部分和序列的子序列。从而当原级数收敛于S时，$S_n\to S$

注：

1. 反过来不正确，这是子序列收敛不能反推原列收敛的结果。
2. 加括号后数列发散，则原列发散。这本来是利用子序列判别不收敛的方法。
3. 结合更有利于级数收敛。

3. 正项级数的审敛法

不同的数项具有不同的审敛方法，所以我们将数项级数分成同号级数和交错级数两种。
其中前一种较为典型的例子是正项级数，方法也相对多样，我们在这里专门讨论。

3.1. 比较审敛法

定理1：部分和序列有上界（单调有界定理）

$S_n=\sum _{k=1}^{\infty }{u}_k$和$T_n=\sum _{k=1}^{\infty }$满足$u_n\le c{v}_n,n\in \mathbb{N}\ast$
则：

1. 若$S_n$收敛，则$T_n$也收敛
2. 若$T_n$发散，则$S_n$也发散

简证：

1. $T_n$有上界那么$S_n$也有上界。
2. 反证，如果$T_n$收敛，那么由1，则$S_N$收敛，矛盾。

比较审敛法给了我们一种讨论$p$级数的方法。

3.1.1. 再论$p$级数

1. $p\le 1$，利用调和级数发散，可以得到发散
2. $p>1$，利用结合律，第$k$个括号，括住$2^k$项。第$k$个括号中$v_n\le \frac{2^n}{2^{np}}=\frac{1}{2^{n(p-1)}}$
   注意到：$\sum _{n=0}^{\infty }{\omega }_n=\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2^{p-1}}\right)}^{n-1}$是公比为$\frac{1}{2^{p-1}}$的等比级数，由等比级数收敛性知这个级数收敛。从而$v_n$的级数也收敛。
   再利用结合律知$ks.t.k\le 2^{n+1}-1$有$\{S_k\}$有上界，从而知原级数收敛

$p$级数与广义积分有紧密的联系。$p>1$时，
$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\cdots +\frac{1}{n^p}\\ & \le 1+{\int }_1^2\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x+\cdots +{\int }_{n-1}^n\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x\\ & =1+{\int }_1^n\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x<1+{\int }_1^n+{\int }_n^{+\infty }\\ & =1+{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x=1+A\stackrel{△}{}M\end{array}$$
从而知$\{S_n\}$收敛

关于无穷级数和广义积分的关系，我们后面还要专门讨论

3.1.2. 比较审敛法的渐进分析形式（$\ast$）

同阶级数同敛散.

证明可以双向构造比较审敛的不等式:
即利用
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l(0<l<+\infty )$$
构造$u_n<(l+1)v_n,v_n<(\frac{1}{l}+1)u_n$

这个证明方法是重要的，它架设了极限和级数之间的关系，体现了用有限解决无限的思想。在后面证明达朗贝尔审敛和柯西审敛的过程当中，都很有益。

这意味着我们可以使用等价代换。这将极大增加我们判别的效率，正如极限计算中我们已经看到的那样

高阶级数更趋向于发散。

它启发了达朗贝尔

3.1.3. 比较审敛法的求解思路

放缩为我们熟悉的$p$级数（其中调和级数常用）和等比级数。

3.1.4. 比较审敛的问题

我们必须使用放缩法，把原级数转化为另一个级数的敛散性判别问题。

于是思考，能否有一种方法，可以只利用待判别的级数本身便给出结果？

3.2. 比值审敛法

这个方法也叫达朗贝尔审敛法。

从等比级数的思想入手，如果前后项的比有某种关系，我们或许可以对这个比的序列进行敛散性分析，导出原级数的敛散性。纵然有另外的数列，但把求解过程完全限制在同一个数列当中了。这个观点很高。

3.2.1. 定理叙述

若正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(n>0)$满足
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=l$$
则：

1. 当$l<1$时级数收敛；
2. 当$l>1$时级数发散；
3. 当$l=1$时不定。

简证：

1. 由极限保序性，取公比$q>l$，可以利用原数列构造一个参考的等比数列$u_{n+k}<u_n\cdot q^k$，不等号右侧收敛。故由比较法得证。
2. 数列单调上升且速度越来越稳定。
3. 我们可以举例说明这个不定性：任意$p$级数都满足，但事实也很明确。

3.3. 根值审敛法

这个方法也叫柯西审敛法。

3.3.1. 定理叙述

若正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(n>0)$满足
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=l.$$
则：

1. 当$l<1$时级数收敛；
2. 当$l>1$时级数发散；
3. 当$l=1$时不定。

简证：

1. 利用$q^n$的等比级数性质
2. 结合数项级数收敛的必要条件。$u_n$并不趋向于0
3. 仍然是任意$p$级数都满足这个条件。

3.4. 正项级数的审敛法对比

比值法和根值法（我们姑且把它们称为延伸类方法）的可解情形利用了比较审敛法，而其还存在不可解情形，所以比较法的可解问题的集合更广。

一般的选取原则：

1. 若级数中出现$a^n,n!,n^n$，考虑使用延伸类方法。最优先使用柯西法，含有$n!$才用达朗贝尔法。
2. 若没有这三者，使用比较法。

3.5. 无穷级数和无穷积分的关联

设$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$为正项级数，若存在一个单调下降的非负函数（$x\ge 1$）使得
$$u_n=f(n),n\in \mathbb{N}$$
则级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$和无穷积分同敛散。

简证：${\sigma }_n={\int }_1^{n}f(x)\mathrm{d}x$，由几何关系
$$S_n-u_1\le {\sigma }_n\le S_n-u_n$$
利用这个关系我们可以构造出双向的比较审敛的不等式：
$$\{\begin{array}{l}{S}_n\ge {\sigma }_n\\ S_n\le {\sigma }_n+u_1\end{array}$$
如果原问题可以通过$n$到$x$的代换转化成易解的积分，我们就使用这种形式。

3.6. 交错级数和绝对收敛

3.6.1. 交错级数的莱布尼茨准则

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$$
若$\{u_n\}$单调减，$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$，则收敛。

注：

1. 这只是一个充分条件，非必要条件

e.g.收敛但$u_n$不递减。
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{2^{n+(-1{)}^n}}$$

2. 对莱布尼茨准则的理解：交替项表征振动幅度，最终必须要趋向0，否则将无法收敛。
3. 交错级数的余项估计：$|r_n|\le u_{n+1}$

3.6.2. 任意项级数

建立在对交错级数的研究上，我们可以将任意项级数拆解成交错项和正项级数两部分，分别研究再合并。

同时还有一个比较好用的思路，即绝对收敛。在后面我们还会专门讨论任意项级数

绝对收敛：$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$收敛，可推$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则称级数绝对收敛。
条件收敛：$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，但$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$发散，此时称级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$条件收敛。

条件收敛的级数时常是交错级数。

小结：
为了研究级数，我们通过极限的工具进行收敛性研究。为了更好的研究收敛性，我们讨论了收敛级数的性质。为了更好地求解极限的两大问题，我们对不同性质的级数进行分类，这里已经讨论了正项级数的几种方法。接下来我们要思考关于幂级数的审敛法和求解方法。

4. 任意项级数

4.1. 交错级数举例

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\cdots$$
利用级数的结合律，这个级数可以化成典型的交错级数。
$$v_k=\frac{1}{3k-2}+\frac{1}{3k-1}+\frac{1}{3k}$$
从而$\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^{k-1}{v}_k$是交错级数.
利用Leibniz法则，$\{S_{3n}\}$作为$\{S_n\}$的子列，有极限$S$

接着可以得到
$$S_{3n+1}=S_{3n}+u_{3n+1}=S_{3n}+(-1{)}^n\frac{1}{3n+1}\to S(n\to \infty )$$
$$S_{3n+2}=S_{3n}+u_{3n+1}+u_{3n+2}$$

4.2. 绝对收敛与条件收敛

绝对收敛是一种较强的级数。

因为取完绝对值之后通常会趋向为正项发散，这和极限中取绝对值趋同在形式上是相反的。

绝对收敛和条件收敛可以归结为一句话：
绝对值级数$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$收敛是原级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛的充分非必要条件。

4.2.1. 重排不变性

引理1（拆分引理）：绝对收敛的任意项级数的和数可分解为两个正项级数

条件有待讨论：正负项分别收敛有可能出现原级数不收敛的情况

证明思路：设级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$绝对收敛，令
$$v_n=\frac{1}{2}(|u_n|+u_n)$$

$$w_n=\frac{1}{2}(|u_n|-u_n)$$
从而实现正负项的分离。两个正项级数都绝对收敛，设分别至$P$和$Q$。又$u_n=v_n-w_n$从而利用级数的线性性质可得原级数收敛至$P-Q$。

引理2：正项收敛级数的重排不变性

证明思路：不管换了多少个，都是有限个。从原级数中取出足够多的$m$项，使得组成的数集能够包含这些交换过的元素$S_n^{\ast }\le S_m\le S$
利用比较法，$S_m$收敛，所以$S_n^{\ast }$收敛。

在上述过程中，换一个角度看，$S$对应序列是$S^{\ast }$对应序列交换次序所得，也有：$S_m\le S_n^{\ast }$，取极限可得$S\le S^{\ast }$

综合可得证。

定理：绝对收敛的级数重排后新级数也绝对收敛，且和不变。
综合引理，易证。

4.3. 任意项级数的两个审敛定理

4.3.1. 预备知识

4.3.1.1. 绝对收敛的级数的可乘性

两个级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_k$与$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_k$绝对收敛，则由它们的项相乘所组成的乘积$u_i{v}_i$按任意次序相加所成的级数绝对收敛到两级数的和数之积。

这类的定理一直需要绝对收敛。我的解释是，条件收敛不够紧实，在交换的情况下，会出现和数的偏移。

4.3.1.2. Abel变换

设有两组数，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\cdots ,{\alpha }_m$与${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3\cdots ,{\beta }_m$，令$\{B_n\}$是$\{{\beta }_n\}$的部分和序列

则有Abel变换式：
$$\sum _{k=1}^m{\alpha }_k{\beta }_k=\sum _{k=1}^{m-1}({\alpha }_k-{\alpha }_{k+1})B_k+{\alpha }_m{\beta }_m$$

4.3.1.3. Abel引理

在Abel变换式中，$\{\alpha \}$是单调的，$\{\beta \}$的部分和序列$B_n$有界，则有：
$$\left|\sum _{k=1}^m{\alpha }_k{\beta }_k\right|\le M\sum _{k=1}^{m-1}|{\alpha }_k-{\alpha }_{k+1}|+M\cdot |{\alpha }_m|\le M(|{\alpha }_1|+2|{\alpha }_m|)$$

4.3.2. Dirichlet审敛法

对级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_k{b}_k$：
若序列$\{a_k\}$单调且收敛至0，又级数$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_k$的部分和有界，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_k{b}_k$收敛。

利用阻尼振动的图像，$a_k$列就是阻尼作用的包络线，$b_k$列是中部的振动主部。

4.3.3. Abel任意项级数审敛法

对级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_k{b}_k$：
若无穷数列$\{a_k\}$单调收敛，而级数$\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$收敛，则级数$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k{b}_k$收敛。

这个方法建立在两点上：

1. 第一，$a_k$的收敛条件，通过减极限，可以转化并满足D法中的趋于0；

2. 第二，多了$b_k$级数收敛的限制，从而才可以使用级数的可加和的线性性质。