本节首先由矩阵行化简为三角阵时的过程中,矩阵可逆的条件引出了行列式的定义,从行列式的形式中寻找规律,引出了行列式的递归定义法。接着对行列式的计算方法进行进一步改进,引出余因子展开式的计算方法,用以适应不同情况下的行列式计算,以减少运算量。
之前学习过,一个 2 × 2 2 \times 2 2×2矩阵是可逆的,当且仅当它的行列式非零。这里将这个结论推广到更大的矩阵。
考虑一个可逆的 3 × 3 3 \times 3 3×3矩阵 A A A,其中 a 11 ≠ 0 a_{11} \neq 0 a11=0:
[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} ⎣⎡a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎦⎤
对其做行化简可得到矩阵:
[ a 11 a 12 a 13 0 a 11 a 22 − a 12 a 21 a 11 a 23 − a 13 a 21 0 a 11 a 32 − a 12 a 31 a 11 a 33 − a 13 a 31 ] \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}&a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21}\\0&a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}&a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31}\end{bmatrix} ⎣⎡a1100a12a11a22−a12a21a11a32−a12a31a13a11a23−a13a21a11a33−a13a31⎦⎤
由于 A A A可逆,所以 A A A有三个主元列,那么 a 22 a_{22} a22和 a 32 a_{32} a32肯定不同时为0。这里假设 a 22 ≠ 0 a_{22} \neq 0 a22=0(通过行变换,肯定能满足这一要求),然后继续对这个矩阵做行变换,可得:
[ a 11 a 12 a 13 0 a 11 a 22 − a 12 a 21 a 11 a 23 − a 13 a 21 0 0 a 11 Δ ] \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}&a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21}\\0&0&a_{11}\Delta\end{bmatrix} ⎣⎡a1100a12a11a22−a12a210a13a11a23−a13a21a11Δ⎦⎤
其中, Δ = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 23 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 \Delta=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{23}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31} Δ=a11a22a33+a12a23a31+a13a23a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
由于 A A A可逆,所以 Δ \Delta Δ肯定不为0,反之亦然(下一节可证)。 Δ \Delta Δ为 3 × 3 3\times 3 3×3矩阵 A A A的行列式。
之前学过二阶矩阵的行列式 d e t A = a 11 a 22 − a 12 a 21 det \ A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} det A=a11a22−a12a21,为了能够递归定义行列式,可以将上述 Δ \Delta Δ写成如下形式:
Δ = a 11 ⋅ d e t [ a 22 a 23 a 32 a 33 ] − a 12 ⋅ d e t [ a 21 a 23 a 31 a 33 ] + a 13 ⋅ d e t [ a 21 a 22 a 31 a 32 ] \Delta = a_{11}\cdot det\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{bmatrix} - a_{12}\cdot det\begin{bmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{bmatrix}+a_{13}\cdot det\begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{bmatrix} Δ=a11⋅det[a22a32a23a33]−a12⋅det[a21a31a23a33]+a13⋅det[a21a31a22a32]
通过观察规律,又可以进一步将上式写为:
Δ = a 11 ⋅ d e t A 11 − a 12 ⋅ d e t A 12 + a 13 ⋅ d e t A 13 \Delta = a_{11}\cdot det\ A_{11} -a_{12}\cdot det\ A_{12} + a_{13}\cdot det\ A_{13} Δ=a11⋅det A11−a12⋅det A12+a13⋅det A13
其中, A 11 , A 12 , A 13 A_{11},A_{12},A_{13} A11,A12,A13由 A A A中删去第一行和三列中之一列得到。
通过上述分析,可以得到行列式的递归定义:
当 n ≥ 2 n \geq 2 n≥2, n × n n \times n n×n矩阵 A = [ a i j ] A=[a_{ij}] A=[aij]的行列式是形如 ± a 1 j \pm a_{1j} ±a1j的 n n n个项的和,其中加号和减号交替出现,元素 a 11 , a 12 , … , a 1 n a_{11},a_{12},\dots,a_{1n} a11,a12,…,a1n来自 A A A的第一行,用符号表示为:
d e t A = a 11 ⋅ d e t A 11 − a 12 ⋅ d e t A 12 + ⋯ + ( − 1 ) 1 + n a 1 n ⋅ d e t A 1 n det\ A=a_{11}\cdot det\ A_{11}-a_{12}\cdot det\ A_{12} + \cdots + (-1)^{1+n}a_{1n}\cdot det\ A_{1n} det A=a11⋅det A11−a12⋅det A12+⋯+(−1)1+na1n⋅det A1n
例:
计算行列式 d e t A det\ A det A,其中
A = [ 1 5 0 2 4 − 1 0 − 2 0 ] A=\begin{bmatrix}1&5&0\\2&4&-1\\0&-2&0\end{bmatrix} A=⎣⎡12054−20−10⎦⎤
解:
d e t A = 1 ⋅ d e t [ 4 − 1 − 2 0 ] − 5 ⋅ d e t [ 2 − 1 0 0 ] + 0 ⋅ d e t [ 2 4 0 − 2 ] = − 2 det\ A=1\cdot det\ \begin{bmatrix}4&-1\\-2&0\end{bmatrix} - 5\cdot det\ \begin{bmatrix}2&-1\\0&0\end{bmatrix} + 0\cdot det\begin{bmatrix}2&4\\0&-2\end{bmatrix} = -2 det A=1⋅det [4−2−10]−5⋅det [20−10]+0⋅det[204−2]=−2
方阵的行列式记号也可以用竖线来代替,因此上式也可以记为:
d e t A = 1 ⋅ ∣ 4 − 1 − 2 0 ∣ + 5 ⋅ ∣ 2 − 1 0 0 ∣ + 0 ⋅ ∣ 2 4 0 − 2 ∣ det\ A=1\cdot\begin{vmatrix}4&-1\\-2&0\end{vmatrix}+5\cdot \begin{vmatrix}2&-1\\0&0\end{vmatrix}+0 \cdot \begin{vmatrix}2&4\\0&-2\end{vmatrix} det A=1⋅∣∣∣∣4−2−10∣∣∣∣+5⋅∣∣∣∣20−10∣∣∣∣+0⋅∣∣∣∣204−2∣∣∣∣
下面推广引出余因子的定义:
给定 A = [ a i j ] A=[a_{ij}] A=[aij], A A A的 ( i , j ) (i,j) (i,j)余因子 C i j C_{ij} Cij由下式给出:
C i j = ( − 1 ) i + j d e t A i j C_{ij}=(-1)^{i+j}det\ A_{ij} Cij=(−1)i+jdet Aij
根据上述定义,那么
d e t A = a 11 ⋅ C 11 + a 12 ⋅ C 12 + ⋯ + a 1 n ⋅ C 1 n det\ A=a_{11}\cdot C_{11} + a_{12}\cdot C_{12} + \cdots + a_{1n} \cdot C_{1n} det A=a11⋅C11+a12⋅C12+⋯+a1n⋅C1n
其实就是按 A A A的第一行的余因子展开式。
再引出下列广义的定理:
m × n m \times n m×n矩阵 A A A的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算。
按第 i i i行展开的余因子写法:
d e t A = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + ⋯ + a i n C i n det\ A = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in} det A=ai1Ci1+ai2Ci2+⋯+ainCin
按第 j j j列展开的余因子写法:
d e t A = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + ⋯ + a n j C n j det\ A = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \cdots + a_{nj}C_{nj} det A=a1jC1j+a2jC2j+⋯+anjCnj
例:
利用按第三行的余因子展开式求 d e t A det\ A det A,其中:
[ 1 5 0 2 4 − 1 0 − 2 0 ] \begin{bmatrix}1&5&0\\2&4&-1\\0&-2&0\end{bmatrix} ⎣⎡12054−20−10⎦⎤
解:
d e t A = a 31 C 31 + a 32 C 32 + a 33 C 33 = ( − 1 ) 3 + 1 a 31 d e t A 31 + ( − 1 ) 3 + 2 a 32 d e t A 32 + ( − 1 ) 3 + 3 a 33 d e t A 33 = 0 ∣ 5 0 4 − 1 ∣ + 0 ∣ 1 0 2 − 1 ∣ + 0 ∣ 1 5 2 4 ∣ = 0 + 2 ( − 1 ) + 0 = − 2 \begin{aligned}det\ A&=a_{31}C_{31}+a_{32}C_{32}+a_{33}C_{33} \\ &=(-1)^{3+1}a_{31}det\ A_{31} + (-1)^{3+2}a_{32}det\ A_{32} + (-1)^{3+3}a_{33}det\ A_{33} \\ &=0\begin{vmatrix}5&0 \\ 4 & -1\end{vmatrix} + 0\begin{vmatrix}1&0 \\ 2 & -1\end{vmatrix} + 0\begin{vmatrix}1&5 \\ 2 & 4\end{vmatrix}\\&=0+2(-1)+0\\&=-2\end{aligned} det A=a31C31+a32C32+a33C33=(−1)3+1a31det A31+(−1)3+2a32det A32+(−1)3+3a33det A33=0∣∣∣∣540−1∣∣∣∣+0∣∣∣∣120−1∣∣∣∣+0∣∣∣∣1254∣∣∣∣=0+2(−1)+0=−2
上述定理的灵活之处在于,如果某行多数元素为0,则按该行的余因子展开式就会有许多项为零,这些项中的余因子就不需要计算了。
按照优先选零元素较多的行或列来计算行列式的方法,可以很容易得到下列结论:
若 A A A为三角阵,则 d e t A det \ A det A等于 A A A的主对角线上元素的乘积。