线性变换及其对应的矩阵
变换有很多种形式，它描述了输入和输出间的映射（mapping/map）关系，这篇文章主要讨论线性变换，每个线性变换都对应一个矩阵，线性变换与坐标无关，而矩阵与坐标有关，因此矩阵是基于坐标来描述线性变换，例如投影就是一种常见的线性变换，与其对应的是投影矩阵，判断是线性变换需满足以下两个条件：
其中v和w分别是向量，T表示对向量的变换，上两式表明线性变换应该保证加法和乘法的不变性，这两个条件可合并为一个条件：
，前面提及的投影变换，满足一个向量乘以倍数，其投影也乘以相应倍数，两向量和的投影等于各自投影的和，再举几个例子，用上面的两个条件来判断其是否为线性变换。
例1：向量平移。假设向量v沿着某方向平移v0，即T(v)=v+v0，很明显这不是线性变换，因为如果向量v的长度加倍，T(v)并不会加倍。除了用上面的两个条件来判断之外，还可以通过T(0)来判断是否为线性变换，线性变换必须满足零向量经过变换后一定等于零向量，从这一点也可看出例1不是线性变换。
例2：平方运算。例如求向量的长度，T(v)=||v||，如果向量乘以-2，则其长度还是变为原来的2倍，而不是乘以-2，因此平方运算是一种非线性变换。
例3：旋转变换。假设输入向量为v，将其旋转45度后得到输出向量T(v)，如果加倍v，则输出向量也加倍，对于v+w，其旋转的结果等于v和w各自旋转的结果相加，因此旋转也是一种线性变换。
由于每一个线性变换都对应了一个矩阵，因此线性变换的过程可以表示为T(v)=Av，其中A是变换矩阵，x是输入向量，理解线性变换的方法就是确定其背后的矩阵A，因为线性变换的本质都包含在矩阵中。例如有一线性变换T，其输入是3维向量，输出是2维向量，即
，则该变换对应的A应该是一个2*3矩阵。
我们现已理解单个向量线性变换的结果，例如T(v1)，但如果要考虑线性变换对于整个输入空间造成的影响呢？难道要对输入空间中的向量一个个进行计算吗？答案很明显不是，只要确定了线性变换对于该空间基向量的影响，就能了解线性变换对于整个输入空间的影响，也就是说只要确定了 T(v1) T(v2) …T(vn)，其中v1…vn是输入空间的一组基，简称输入基，就足以确定任何v的线性变换T(v)，因为v总是基向量的线性组合v=c1v1+…cnvn，T(v)=c1T(v1)+c2T(v2)+cnT(vn)。
线性变换与变换矩阵的转换
线性变换本身是坐标无关的，但将其与坐标有关的矩阵联系起来后，就需要建立坐标系，建立坐标系就要确定坐标系的基，如果选择的基不同，坐标也会不同，一般来说，坐标系建立在标准基的基础上，我们平时甚至不会意识到标准基的存在，因为如果给一个向量
，我们甚至想都没想过，就早已接受了这样的假设，其实存在这样一组标准基 
，标准基前面的系数就是向量在该坐标系的坐标，虽然基有很多种，但一般要选择有意义的基。所以如果我们希望通过一个矩阵来描述线性变换，即构造一个矩阵A，用于表示一个线性变换T，
，实际上需要两组基，输入基用来确定输入向量坐标，输出基用于确定输出向量坐标，当然两组基也可以选相同的，假设v1,v2,…vn为输入向量的基，它们来自于Rn，另一组基w1,w2,…wm为输出向量的基，它们来自于Rm，基一旦确定，对应的矩阵也就确定，现在我们引入坐标，Rn中的输入向量v，根据输入基表示出它的坐标，然后把这些坐标值乘以某个矩阵A，得到输出向量的坐标值，输出坐标通过输出基表示，以上就是线性变换的全部过程。可以举一个投影的例子来加深对上述线性变换过程的理解，为简化计算，取n=m=2，也就是说参与变换的向量都在平面上，如下图所示，通过变换使得平面上的任意向量投影到直线1上，这里不采用标准基（标准基即为（0,1）和（1,0），这是最常用的一组基向量）作为基，而是用投影方向和投影方向的垂直方向作为基，也就是说第一个基向量就在直线1上，为直线1上的单位向量，第2个基向量也是单位向量，在直线2上，直线2与直线1是垂直的，输入和输出空间都采用这组基，对于输入向量v1，其输出仍是v1，对于输入向量v2，投影等于0，对于任意向量v，都可以表示成两个基向量的线性组合，v=c1v1+c2v2，因此有T(v)=c1v1，所以变换矩阵的作用是输入
，输出 
，很明显能完成这个功能的矩阵就是A=
，总结一下线性变换的过程：原来的线性变换与坐标无关，但是为输入空间和输出空间选定基向量后，就得到了一个起同样变换作用的矩阵，它乘以输入向量坐标可得输出坐标。
上面例子中的投影是在特征向量基中进行的，也可以将其放在标准基中进行，假设需将所有向量投影到一根倾斜45度的直线上，输入输出空间都采用标准基，标准基 
，根据子空间投影，投影矩阵
，如果输入基向量
，则输出是
，如果输入基向量
，输出还是
，可以看到选择不同的基向量，得到的向量坐标不同，投影矩阵也不再是上面的对角阵。
如何确定变换矩阵？
假设已知输入基和输出基分别是v1…vn，w1…wn，那么变换矩阵A的第一列就是第一个基向量的线性变换，因为输入第一个基向量v1也就意味着输入坐标是
，矩阵A乘以v1就等于A的第一列，因此矩阵A的第一列就是第一个基向量的线性变换，这对于第一列成立，对于第二列也成立，对于所有基向量都成立。因此求变换矩阵A最直接的方法就是，对基向量v1进行线性变换，写出其输出
作为矩阵第1列，对基向量v2进行线性变换，写出其输出 
作为矩阵A的第2列，如此类推，最终得到整个变换矩阵A。
最后还是用例子加深一下对线性变换的理解。
求导数是常用的一种变换，
，它也是一个线性变换，假设输入是所有组合c1+c2x+c3x2，它的基是一些简单的幂函数1,x,x2，对输入求导后得输出是c2+2c3x，输出基是1,x，这是一个从三维输入空间到二维输出空间的线性变换，变换矩阵A乘以输入向量坐标，得到输出坐标，即
，从该式我们容易推出，
，可以验证一下A的三列是否分别是三个基的输出，第1个基的坐标为
，则输出为
，第2个基的坐标为
，则输出为
，第3个基的坐标为
，则输出为
，变换矩阵的列与基向量坐标值的线性变换是对应的，用矩阵来描述线性变换的好处就是矩阵的逆相当于线性变换的逆，矩阵的乘积相当于线性变换的乘积。