直观理解高斯函数相乘

此处仅直观理解高斯函数的单变量相乘，不涉及复杂的数学推导。

有以下两个高斯函数:

f1(x)=12π−−√σ1exp−(x−μ1)22σ21 f 1 ( x ) = 1 2 π σ 1 exp − ( x − μ 1 ) 2 2 σ 1 2

f2(x)=12π−−√σ2exp−(x−μ2)22σ22 f 2 ( x ) = 1 2 π σ 2 exp − ( x − μ 2 ) 2 2 σ 2 2

计算两个高斯函数的乘积：

f(x)=f1(x)f2(x) ↓f(x)=12πσ1σ2exp−[(x−μ1)22σ21+(x−μ2)22σ22] f ( x ) = f 1 ( x ) f 2 ( x )   ↓ f ( x ) = 1 2 π σ 1 σ 2 exp − [ ( x − μ 1 ) 2 2 σ 1 2 + ( x − μ 2 ) 2 2 σ 2 2 ]

1. 考虑 f′(x)=0 f ′ ( x ) = 0 时有最值，可以找到高斯函数包络(bump)的中心 μ μ ,
   

   μ=μ1σ22+μ2σ21σ21+σ22 μ = μ 1 σ 2 2 + μ 2 σ 1 2 σ 1 2 + σ 2 2

2. 函数的变化程度，即统计信号中的离散程度variance，可以根据函数的变化特性 f′′(x) f ″ ( x ) 得出
   

   1σ2=1σ21+1σ22 1 σ 2 = 1 σ 1 2 + 1 σ 2 2

另外，还可以通过公式化简求得，进一步及更多请参考Products and Convolutions of Gaussian Probability Density Functions。