1. 数学期望(均值)与中位数
1)数学期望的定义
a)取有限个值的离散型随机变量的数学期望
b)取无穷个值的离散型随机变量的数学期望
c)连续型随机变量的数学希望
d)特例:离散(波瓦松分布、负二项分布);连续(均匀分布;指数分布;正态分布)
e)数学期望由随机变量的分布完全决定,但在某些问题中,难于决定某些变量的分布如何,但有相当的根据(经验或理论)对期望值提出一些假定甚至有不少的了解;当需要通过观察或试验取得数据已经行估计时,估计随机变量的数字特征要比估计其分布容易且确切
f)在理论和应用中重要原因:本身含义;具备的良好性质
2)数学期望的性质:
a)若干个随机变量值和的期望等于各变量的期望之和:
离散型、连续型证明:数学归纳法、期望定义、边缘概率
应用:二项分布的期望;n双鞋随机分成n堆,“恰好成一双”的那种堆的数目的期望)
b)若干个独立随机变量之积的期望等于各变量的期望之积
c)随机变量的函数的期望
离散型、连续型证明:连续型仅证明g为严格上升并可导的情况,随机变量函数的密度函数,反函数
为计算随机变量X的某一函数g(X)的期望,并不需要先计算g(X)的密度函数,而可以就从X的分布出发
d)统计三大分布的期望
3)条件数学期望(条件均值)
a)条件数学期望的定义
b)意义:反映了随着X取值x的变化,Y的平均变化情况如何
c)在统计学上,常把条件期望E(Y|x)作为x的函数,称为Y对X的“回归函数”,“回归分析”即关于回归函数的统计研究
d)变量Y的(无条件)期望 = Y的无条件期望E(Y|x)对x取加权平均,x的权与变量X在x点的概率密度称比例
e)一个变量的期望,等于其条件期望的期望(离散、连续)
4)中位数
a)定义
b)和数学期望一样,用于刻画一个随机变量X的平均取值的数学特征
c)与数学期望相比的优点:受个别特大或特小值的影响很小;总存在
d)在理论和应用中数学期望重要性超过中位数的原因:均值有很多优良的性质;中位数不唯一且离散型变量中位数不完全符合“中位”含义
2. 方差与钜
1)方差和标准差
a)刻画随机变量在其中心附近散布程度的数字特征之一
b)平均绝对差:刻画随机变量散布度的数字特征之一
c)方差、标准差定义:设X为随机变量,分布为F,则Var(X) = E((X-EX)*(X-EX))称为X(或分布F)的方差,其平方根称为X(或分布F)的标准差
d)方差的性质1:常数的方差为0;若C为常数,则Var(X+C)= Var(X);若C为常数,则Var(CX)= C*C*var(X)
e)方差的性质2:独立随机变量的方差等于各变量的方差之和
2)钜
a)随机变量X关于c(常数)点的k(正整数)阶钜定义
b)X的k阶原点矩
c)X的k阶中心距
d)一阶原点矩为期望;一阶中心距为0;二阶中心距为方差
e)统计学上,高于4阶的钜极少使用
f)三阶中心距:
衡量分布是否有偏:对称为0;大于0为正偏或右偏;小于0为负偏或左偏
偏度系数 = 三阶中心距/标准差的三次方
g)四阶中心距:
衡量分布(密度)在均值附近的陡峭程度如何。越陡峭值越小
峰度系数:= 四阶中心距/标准差四次方;=四阶中心距/(标准差四次方-3)(使正态分布有峰度系数0)
3. 协方差与相关系数
1)意义:多维随机变量的数字特征,反应分量之间的关系
2)协方差(E(X) = m1, E(Y) = m2, Var(X) = a1, Var(Y) = a2)
a)定义:随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X-m1)*(Y-m2))
b)协方差性质1:与X,Y的次序无关;Cov(c1*X+c2, c3*Y+c4) = c1*c3*Cov(X,Y);Cov(X,Y) = E(X*Y) -m1*m2
c)协方差性质2:若X,Y独立,则Cov(X,Y) = 0;Cov(X,Y)*Cov(X,Y) <= a1*a1*a2*a2,等号当且仅当X,Y之间有严格线性关系时成立
3)相关系数
a)意义:标准尺度下的协方差
b)定义:X,Y的相关系数Corr(X,Y) = Cov(X,Y) / (a1*a1*a2*a2)
c)相关系数性质:若X,Y独立,则Corr(X,Y)=0;abs(Corr(X,Y)) <= 1,等号当且仅当X和Y有严格线性关系时成立
d)不相关和独立间的关系:Corr(X,Y)=0,表示X和Y不相关,X和Y相关不一定独立,但独立一定相关
e)相关系数也称为线性相关系数。若0 f)“线性相关”的最小二乘解释 g)二维正态分布的相关系数特性(2条) 4. 大数定理和中心极限定理 1)大数定理 a)一类重要的极限定理,由“频率收敛于概率”引申而来。“大数”指涉及大量数目的观察值 b)大数定理:利用切比雪夫不等式证明 c)马尔科夫不等式 d)切比雪夫不等式 e)伯努利大数定律 2)中心极限定理 a)一类定理:和的分布收敛于正态分布 b)林德伯格定理(林德伯格-莱维定理):虽则在一般情况很难求出X1+...+Xn的分布的确切形式,但当n很大时,可通过正态分布求其近似值 c)利莫夫-拉普拉斯定理:历史上最早的中心极限定理,是林德伯格定理的特列,1716利莫夫讨论了p=1/2的情况,拉普拉斯将其推广 d)中心极限定理的推广方向:独立不同分布情形;非独立情形;由中心极限定理引起的误差;大偏差问题