线性代数复习 第四章 线性方程组

第四章 线性方程组

4.1 高斯消元法

基本概念

基本上，研究矩阵和线性代数，就是为了求解方程组，三种基本的矩阵变换也是和方程的变换相等价的，如交换两组方程组的位置，把方程的两边同时乘以一个非零常数，方程组的叠加等，都不会改变方程的解。

高斯消元法（用初等变换求线性方程组的解）

利用初等变换，可以把增广矩阵转化成三角矩阵，然后对应到方程中再用消元法求解。

齐次线性方程组只有零解，或者有无数解；非齐次线性方程组可能无解，可能只有一个确定的解，也可能有无数解。

4.2 线性方程组解的结构、性质和判定

齐次线性方程组 Am×nx=0 的基础解系

当矩阵 Am×n 不满秩时，即 |A|=0 ，该方程组有无数解，我们可以用一组基础解系来表示这些解。

若有向量组 α1,α2,⋯,αs 线性无关，且齐次线性方程组 Am×nx=0 的任一解都可以由其线性表示出来，那么称 α1,α2,⋯,αs 是 Am×nx=0 的一组基础解系。

基础解系可能有无数个，且其中向量组的个数 s 满足下面的公式：

s=n−r(A)

显然，当矩阵 A 满秩的时候，不存在基础解系，因为齐次线性方程组只有零解。

书里的一个例子有个结论，就是伴随矩阵 A∗≠0 ，那么有 r(A)≥n−1 ，想一想为啥。

齐次线性方程组 Am×nx=0 的解判定定理、性质和结构定理

齐次线性方程组一定有解，且：

• 若 r(A)=n⇔Ax=0 只有零解 ⇔|A|≠0
• 若 r(A)<n⇔Ax=0 有无数解 ⇔|A|=0

对于齐次的线性方程组而言，如果找到一个非零解，那么必然还有无数个非零解，且系数矩阵的行列式为零。

事实上，设 x1,⋯,xs 为 Ax=0 的一组解，那么其线性组合 k1x1+⋯+ksxx 也是一组解。因为解向量其实构成了一个向量空间，解的集合对加法、数乘运算是封闭的，称为解空间。

设 η1,η2,⋯,ηn−r 为 Ax=0 的一个基础解系， k1,⋯,kn−r 为任意常数， 那么解集合为

{x|x=k1η1+⋯+kn−rηn−r}

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非齐次线性方程组 Am×nx=b 的解判定定理、性质和结构定理

对于非齐次线性方程组 Am×nx=b ，和齐次的不同，方程组有可能无解，判断的方法一般是看增广矩阵的行列式是否和系数矩阵的行列式相同，即

Am×nx=b 有解 ⇔ r(A)=r(A|b)=r(A¯¯¯)

确定了方程组是否有解以后，可以通过看系数矩阵是否满秩来判断有唯一的解还是有无数解。

• 若 r(A)=n⇔Ax=b 只有唯一的解 ⇔|A|≠0
• 若 r(A)<n⇔Ax=b 有无数解 ⇔|A|=0

这一点和齐次的线性方程组是一样的。

考虑有无数解的情况，此时 |A|=0 ， r(A)=r(A¯¯¯)=r<n ，则 Am×nx=b 的通解为：

x=η∗+k1η1+⋯+kn−rηn−r

4.3 线性方程组在向量中的应用

向量的线性相关性

向量组线性无关的充要条件是以此向量组为系数的列向量的齐次线性方程组仅有零解；线性相关的充要条件是有非零解。

向量组线性表示的问题

略过~