π的莱布尼茨公式
维基百科，自由的百科全书（由于维基被禁，搬到此）
在数学领域，π的莱布尼茨公式说明
π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ {\displaystyle \;{\frac {\pi }{4}}\!=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;} 4π=1−31+51−71+91−⋯
右边的展式是一个无穷级数，被称为莱布尼茨级数，这个级数收敛到 π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} 4π。它通常也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数，用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。使用求和符号可记作：
π 4 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 {\displaystyle \;{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}} 4π=n=0∑∞2n+1(−1)n
目录
1 证明
1.1 初等证明
2 参考文献
3 外部链接
证明
考虑下面的几何数列：
1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − ⋯ = 1 1 + x 2 , ∣ x ∣ < 1. {\displaystyle 1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,x^{6}\,+\,x^{8}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.\!} 1−x2+x4−x6+x8−⋯=1+x21,∣x∣<1.
对等式两边积分可得到反正切的幂级数：
x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + x 9 9 − ⋯ = tan − 1 x , ∣ x ∣ < 1. {\displaystyle x\,-\,{\frac {x^{3}}{3}}\,+\,{\frac {x^{5}}{5}}\,-\,{\frac {x^{7}}{7}}\,+\,{\frac {x^{9}}{9}}\,-\,\cdots \;=\;\tan ^{-1}x,\qquad |x|<1.\!} x−3x3+5x5−7x7+9x9−⋯=tan−1x,∣x∣<1.
将 x = 1 x = 1 x=1 代入，便得莱布尼兹公式(1的反正切是 π ⁄ 4 π ⁄ 4 π⁄4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此，需要额外论证当 x = 1 x = 1 x=1时级数收敛到 tan − 1 ( 1 ) \tan^{−1}(1) tan−1(1)。一种方法是利用交替级数判别法，然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到 tan − 1 ( 1 ) \tan^{−1}(1) tan−1(1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。
初等证明
考虑如下分解
1 1 + x 2 = 1 − x 2 + x 4 − ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + ( − 1 ) n + 1 x 2 n + 2 1 + x 2 . {\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}\;=\;1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,\cdots \,+\,(-1)^{n}x^{2n}\;+\;{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}.\!} 1+x21=1−x2+x4−⋯+(−1)nx2n+1+x2(−1)n+1x2n+2.
对于 ∣ x ∣ < 1 |x| < 1 ∣x∣<1，右侧的分式是余下的几何级数的和。然而，上面的方程并没有包含无穷级数，并且对任何实数 x x x 成立。上式两端从0到1积分可得：
π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − ⋯ + ( − 1 ) n 2 n + 1 + ( − 1 ) n + 1 ∫ 0 1 x 2 n + 2 1 + x 2 d x . {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \,+{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;+\;(-1)^{n+1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\!} 4π=1−31+51−⋯+2n+1(−1)n+(−1)n+1∫011+x2x2n+2dx.
当 n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty \!} n→∞ 时，除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。同时，积分项收敛到 0：
0 ≤ ∫ 0 1 x 2 n + 2 1 + x 2 d x ≤ ∫ 0 1 x 2 n + 2 d x = 1 2 n + 3 → 0 当 n → ∞ {\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx\;=\;{\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow \;0\!}\,\, 当 {\displaystyle n\rightarrow \infty \!} 0≤∫011+x2x2n+2dx≤∫01x2n+2dx=2n+31→0当n→∞
这便证明了莱布尼茨公式。
参考文献
Jonathan Borwein, David Bailey & Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics - Computational Paths to Discovery, A K Peters 2003, ISBN 1-56881-136-5, pages 28–30.
外部链接
Implementation of the Leibniz formula for TI Basic
Leibniz Formula in C, x86 FPU Assembly, x86-64 SSE3 Assembly, and DEC Alpha Assembly
补充
π 4 = ∫ 0 1 1 1 + x 2 d x . \frac {\pi}{4}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx. 4π=∫011+x21dx.
π 2 = ∫ 0 ∞ 1 1 + x 2 d x . \frac {\pi}{2}=\int _{0}^{\infty}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx. 2π=∫0∞1+x21dx.
π = ∫ − ∞ ∞ 1 1 + x 2 d x . \pi=\int _{-\infty}^{\infty}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx. π=∫−∞∞1+x21dx.