分数阶的预估校正算法及实现

最近在研究分数阶混沌系统的数值求解方式，在这篇文章中记录总结一下，分享给对其有用的人，也非常欢迎留言讨论。

预估校正算法

首先介绍一下预估校正算法的计算公式

是
可以看到需要计算的有四项

• 预估系数 $b_i$
• 预估值$\hat{x}(t_{n+1})$
• 校正系数$a_j$
• 校正值$x_h(t_{n+1})$
  需要注意的是公式中的m取值依靠分数阶数q；
  $$q\in [m-1,m]$$
  因而当q为小于1的数时，m=1,可知图中式3.6.3首项为x0.

以Liu混沌系统为例

系统的公式如下：

根据分数阶微分方程组，首先写出离散后的预估校正方程

写出方程后，按照步骤进行计算，式中$\alpha$需要分步进行计算，首先算出第一项，然后累加求和。

代码实例

function [x,y,z]=DYDtFraLiu(q1,q2,q3)

%q1 = 0.95;q2 = 0.95;q3 =
0.9;

h = 0.01;N = 3500;

a = 10;b = 4;c = 2.5;d = 1;

x0 = 0.1;y0 = 0;z0 = 0.2;

M1 = 0;M2 = 0;M3 = 0;

x(N+1) = [0];%校正值

y(N+1) = [0];

z(N+1) = [0];

 

x1(N+1) = [0];%预估值

y1(N+1) = [0];

z1(N+1) = [0];

 

x1(1) = x0 +
a*h^q1*(y0-x0)/(gamma(q1)*q1);

y1(1) = y0 +
h^q2*a*x0*(b-z0)/(gamma(q2)*q2);

z1(1) = z0 +
h^q3*d*(b*x0*x0-c*z0)/(gamma(q3)*q3);

 

x(1) = x0 +
a*h^q1*(y1(1)-x1(1)+q1*(y0-x0))/gamma(q1+2);

y(1) = y0 +
a*h^q2*(x1(1)*(b-z1(1))+q2*x0*(b-z0))/gamma(q2+2);

z(1) = z0
+d*h^q3*(b-x1(1)*x1(1)-c*z1(1)+q3*(b*x0*x0-c*z0))/gamma(q3+2);

 

for n=1:N

    M1 = (n^(q1+1)-(n-q1)*(n+1)^q1)*(y0-x0);%校正系数

    M2 = (n^(q2+1)-(n-q2)*(n+1)^q2)*x0*(b-z0);

    M3 = (n^(q3+1)-(n-q3)*(n+1)^q3)*(b*x0*x0-c*z0);

    

    N1 = ((n+1)^q1-n^q1)*(y0-x0);%预估系数

    N2 = ((n+1)^q2-n*q2)*x0*(b-z0);

    N3 = ((n+1)^q3-n*q3)*(b*x0*x0-c*z0);

for j = 1:n

    M1 = M1 +
((n-j+2)^(q1+1)+(n-j)^(q1+1)-2*(n-j+1)^(q1+1))*(y(j)-x(j));

    M2 = M2 +
((n-j+2)^(q2+1)+(n-j)^(q2+1)-2*(n-j+1)^(q2+1))*x(j)*(b-z(j));

    M3 = M3 +
((n-j+2)^(q3+1)+(n-j)^(q3+1)-2*(n-j+1)^(q3+1))*(b*x(j)*x(j)-c*z(j));

    

    N1 = N1 +((n-j+1)^q1-(n-j)^q1)*(y(j)-x(j));

    N2 = N2
+((n-j+1)^q2-(n-j)^q2)*x(j)*(b-z(j));

    N3 = N3
+((n-j+1)^q3-(n-j)^q3)*(b*x(j)*x(j)-c*z(j));

end

x1(n+1) =
x0+a*h^q1*N1/(gamma(q1)*q1);

y1(n+1) =
y0+a*h^q2*N2/(gamma(q2)*q2);

z1(n+1) =
z0+d*h^q3*N3/(gamma(q3)*q3);

 

x(n+1) = x0
+a*h^q1*(y1(n+1)-x1(n+1)+M1)/gamma(q1+2);

y(n+1) = y0
+a*h^q2*(x1(n+1)*(b-z1(n+1))+M2)/gamma(q2+2);

z(n+1) = z0
+d*h^q3*(b*x1(n+1)*x1(n+1)-c*z1(n+1)+M3)/gamma(q3+2);

end

end

% subplot(1,1,1)

% plot3(x,y,z);

%
xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z');

% grid on

% figure 

% plot(x,y);

% xlabel('X'),ylabel('Y')

% grid on

% hold on

测试后发现，算法计算时间长。
参考文献：[分数阶混沌电路理论及应用].刘崇新.高清文字版.pdf