扩散方程——热传导问题（能量定律+傅里叶热传导定律）+ 拉普拉斯方程 | 偏微分方程（三）

热传导问题

物理问题：空间某个物体或静止流体内温度分布不均匀，引起热量流动及温度的变化。

理想化假设：

1. 物体由同一介质构成，且介质均匀分布、各向同性
2. 介质的密度、比热和热传导系数均为常数。

物理定律：

1. 能量守恒定律
2. 傅里叶热传导定律

数学建模(1)：

1. 在空间取定直角坐标系

2. 取各点在t时刻的温度$u=u(t,x,y,z)$为热运动的表征量

3. **微元分析：**在介质内任取微元$dV=[(x,y,z)，(x+dx,y+dy,z+dz)]$，考察微元$dV$在时间间隔$[t,t+dt]$内的温度变化

4. 微元满足能量守恒定律，$[t,t+dt]$

   外界流入热量 + 内部热源产热 = 温度升高所需热量
   $$Q_{流入}+Q_{热源}=Q_{温度升高}$$
   傅里叶热传导定律：热量从高温处向低温处流动，沿某方向流动热量的多少与温度在该方向的减少率成比例。
   $$q=-k\nabla u=\{\begin{array}{l}{q}_x=-k\frac{\partial u}{\partial x}\\ q_y=-k\frac{\partial u}{\partial y}\\ q_z=-k\frac{\partial u}{\partial z}\end{array}$$
   其中$q$是热流密度矢量，表示单位时间沿单位面积的法向流出的热量。

   $\therefore$
   $$\begin{gathered} Q_{左右}=q{|}_x\cdot dt\cdot dydz-q{|}_{x+dx}\cdot dt\cdot dydz \\ =(q{|}_x-q{|}_{x+dx})\cdot dtdydz \\ =-\frac{\partial q}{\partial x}dx\cdot dtdydz=-\frac{\partial }{\partial x}(-k\frac{\partial u}{\partial x})\cdot dtdV \\ =k\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}dtdV \end{gathered}$$

   $$\begin{gathered} Q_{前后}=q{|}_y\cdot dt\cdot dxdz-q{|}_{y+dy}\cdot dt\cdot dxdz \\ =(q{|}_y-q{|}_{y+dy})\cdot dtdxdz \\ =-\frac{\partial q}{\partial y}dy\cdot dtdxdz=-\frac{\partial }{\partial y}(-k\frac{\partial u}{\partial y})\cdot dtdV \\ =k\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\cdot dtdV \end{gathered}$$

   $$Q_{上下}=k\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}\cdot dtdV$$

   $$Q_{流入}=k(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2})\cdot dtdV=k\Delta u\cdot dtdV$$

   $\because$
   $$Q_{热源}=g(x,y,z,t)dtdV$$
   $g(x,y,z,t)$表示单位体积内部热源的产热率（单位时间单位面积产热量）
   $$\begin{gathered} Q_{升温}=c\cdot \rho dV\cdot [u(t+dt,x,y,z)-u(t,x,y,z)] \\ =c\cdot \rho dV\cdot \frac{\partial u}{\partial t}dt \\ =c\rho \frac{\partial u}{\partial t}dtdV \end{gathered}$$
   由能量守恒定律得
   $$\begin{gathered} k\Delta u\cdot dtdV+g(x,y,z,t)dtdV=c\rho \frac{\partial u}{\partial t}dtdV \\ \frac{k}{c\rho }\Delta u+\frac{g(x,y,z,t)}{c\rho }=\frac{\partial u}{\partial t} \end{gathered}$$

   热传导方程（扩散方程）:
   $$\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\Delta u+f(t,x),a=\sqrt{\frac{\kappa }{c\rho }},f(t,x)=\frac{g(t,x)}{c\rho }$$
   其中，$\kappa$为热扩散系数。

   量纲分析：
   $$\begin{gathered} \sqrt{\frac{[k]}{[c]\cdot [\rho ]}}=\sqrt{\frac{J/(s\cdot m\cdot K)}{J/(kg\cdot K)\cdot kg/m^3}}=m/\sqrt{s} \\ \frac{[u]}{[t]}=[a^2]\cdot \frac{[u]}{[x^2]}⟹[a^2]=m^2/s \end{gathered}$$
   根据量纲可知，扩散传播距离与时间之间的关系：
   $$x^2\propto a^{2}t$$

数学建模（2）:

1. 在空间取定直角坐标系

2. 取各点在t时刻的温度$u=u(t,x,y,z)$为热运动的表征量。

3. 在介质内任取微元$dV=[x,x+dx]\times [y,y+dy]\times [z,z+dz]$，考察微元$dV$在时间间隔$[t,t+dt]$内的温度变化。

4. 根据能量守恒定律，物体温度升高所需热量等于外部流入热量和内部热源产生热量之和。

   热量的流动遵循傅里叶热传导定律：热量从温度高处向低处，沿某方向流动热量的多少与温度在该方向的减少率成比例，其数学表示式为
   $${\mathbf{Q}}_n=-k(x,y,z;n)\frac{\partial u}{\partial n}\mathbf{n}$$
   其中，${\mathbf{Q}}_n$为$\mathbf{n}$方向的热流密度矢量，即单位时间沿$\mathbf{n}$方向通过单位面积的热量；$k(x,y,z;n)$为介质的热传导系数，在介质均匀，各项同性假设下是常数，记为k。

   

   在$[t,t+dt]$时间间隔内通过微元的左右面传入的热量为
   $$-k\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{(t,x,y,z)}dtdydz+k\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{(t,x+dx,y,z)}\approx k\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}{|}_{(t,x,y,z)}dtdxdydz$$
   同样可以求出通过前后和上下面流入的热量分别为
   $$k\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}dtdxdydz和k\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}dtdxdydz$$
   如果介质内部有热源，其热源密度，即单位时间单位体积热源流出的热量为$g(t,x,y,z)$，则在$[t,t+dt]$时间间隔内，微元内部热源流出热量为
   $$g(t,x,y,z)dtdxdydz$$
   而微元温度升高所需的热量为
   $$c\rho [u(t+dt,x,y,z)-u(t,x,y,z)]dxdydz\approx c\rho \frac{\partial u}{\partial t}dtdxdydz$$
   这些等式中都忽略了高阶无穷小量

   讲这些量代入能量守恒定律，便得方程
   $$c\rho \frac{\partial u}{\partial t}=k(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2})+g(t,x,y,z)$$
   即热传导方程
   $$\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\Delta u+f(t,x,y,z)$$
   其中，$\Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$为三维拉普拉斯算子，$a=\sqrt{\frac{k}{c\rho }},f(t,x,y,z)=\frac{g(t,x,y,z)}{c\rho }$

   如果考虑侧面绝热杆的温度，或柱上与高度无关的温度变化，同样可导出热传导方程，只是拉普拉斯算子相应地取为一维或二维。

总结：热传导方程的建立基于能量守恒和热传导两条基本物理定律。像气体扩散、杂志在固体或液体中扩散这些物理过程，其机理与热传导相似，都是由浓度的不均匀引起不同物质分子的位置变换，变换过程中每种物质的总量保持不变。选取适当的未知函数，导出的方程与热传导方程有相同形式，因此也称热传导方程为扩散方程。

波动方程和热传导方程分别描述了双向传播和单向传播两种完全不同的物理过程。它们都与时间t有关，称为发展方程。如果考虑热传导方程的稳恒状态，即$\frac{\partial u}{\partial t}\equiv 0$，它就成为泊松（Poisson）方程
$$\Delta u=-\frac{1}{a^2}f(x,y,z)$$
当$f(x,y,z)\equiv 0$时，就是Laplace方程（也称调和方程）
$$\Delta u=0$$