最小生成树

概述　　1、 最小生成树

　　对于连通的带权图(连通网)G，其生成树也是带权的。生成树T各边的权值总和称为该树的权，记作：

　　这里:

　　TE表示T的边集

　　w(u，v)表示边(u，v)的权。

　　权最小的生成树称为G的最小生成树(Minimum Spanning Tree)。最小生成树可简记为MST。

应用

　　生成树和最小生成树有许多重要的应用。

　　【例】网络G表示n各城市之间的通信线路网线路（其中顶点表示城市，边表示两个城市之间的通信线路，边上的权值表示线路的长度或造价）。可通过求该网络的最小生成树达到求解通信线路或总代价最小的最佳方案。

性质（MST性质）

（1）MST性质

　　最小生成树性质：设G=(V，E)是一个连通网络，U是顶点集V的一个真子集。若(u，v)是G中一条“一个端点在U中(例如：u∈U)，另一个端点不在U中的边(例如：v∈V-U)，且(u，v)具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边(u，v)。

（2）MST性质的证明

　　为方便说明，先作以下约定：

　　①将集合U中的顶点看作是红色顶点，②而V-U中的顶点看作是蓝色顶点，③连接红点和蓝点的边看作是紫色边，④权最小的紫边称为轻边(即权重最"轻"的边)。于是，MST性质中所述的边(u，v)就可简称为轻边。

　　用反证法证明MST性质：

　　假设G中任何一棵MST都不含轻边(u，v)。则若T是G的一棵MST，则它不含此轻边。

　　由于T是包含了G中所有顶点的连通图，所以T中必有一条从红点u到蓝点v的路径P，且P上必有一条紫边(u'，v')连接红点集和蓝点集，否则u和v不连通。当把轻边(u，v)加入树T时，该轻边和P必构成了一个回路。删去紫边(u'，v')后回路亦消除，由此可得另一生成树T'。

　　T'和T的差别仅在于T'用轻边(u，v)取代了T中权重可能更大的紫边(u'，v')。因为w(u，v)≤w(u'，v')，所以

　　w(T')=w(T)+w(u，v)-w(u'，v')≤w(T)

　　故T'亦是G的MST，它包含边(u，v)，这与假设矛盾。

　　所以，MST性质成立。

MST的一般算法描述

　　求MST的一般算法可描述为：针对图G，从空树T开始，往集合T中逐条选择并加入n-1条安全边(u，v)，最终生成一棵含n-1条边的MST。

　　当一条边(u，v)加入T时，必须保证T∪{(u，v)}仍是MST的子集，我们将这样的边称为T的安全边。

　　用伪代码可将算法描述为：

　　GenerieMST(G){//求G的某棵MST

　　T〈-￠； //T初始为空，是指顶点集和边集均空

　　while T未形成G的生成树 do{

　　找出T的一条安全边(u，v)；//即T∪{(u，v)}仍为MST的子集

　　T=T∪{(u，v)}； //加入安全边，扩充T

　　}

　　return T； //T为生成树且是G的一棵MST

　　}

 

Kruskal算法

算法思想

　　K r u s k a l算法每次选择n- 1条边，所使用的贪婪准则是：从剩下的边中选择一条不会产生环路的具有最小耗费的边加入已选择的边的集合中。注意到所选取的边若产生环路则不可能形成一棵生成树。K r u s k a l算法分e 步，其中e 是网络中边的数目。按耗费递增的顺序来考虑这e 条边，每次考虑一条边。当考虑某条边时，若将其加入到已选边的集合中会出现环路，则将其抛弃，否则，将它选入。

算法定义

Kruskal算法

　　假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。

 

prim算法

在所有“其一个顶点已经落在生成树上，而另一个顶点尚未落在生成树上”的边中取一条权值为最小的边，逐条加在生成树上，直至生成树中含有 n-1条边为止

设图G =（V，E），其生成树的顶点集合为U。

　　①、把v0放入U。

　　②、在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)∈E中找一条最小权值的边，加入生成树。

　　③、把②找到的边的v加入U集合。如果U集合已有n个元素，则结束，否则继续执行②。