浅谈KMP算法

KMP算法

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，其核心是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是通过一个next()函数实现，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。KMP算法的时间复杂度O(m+n)。

整个KMP的重点就在于当某一个字符与主串不匹配时，我们应该知道j指针要移动到哪？
接下来我们自己来发现j的移动规律：
T为主串，P为模式串

如图：C和D不匹配了，我们要把j移动到哪？显然是第1位。为什么？因为前面有一个A相同啊：

如下图也是一样的情况：
可以把j指针移动到第2位，因为前面有两个字母是一样的：
至此我们可以大概看出一点端倪，当匹配失败时，j要移动的下一个位置k。存在着这样的性质：最前面的k个字符和j之前的最后k个字符是一样的。
如果用数学公式来表示是这样的P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]
KMP算法就是在不断寻找最长公共前后缀，然后移动模式串。

接下来就是重点了，怎么求这些k呢？因为在P的每一个位置都可能发生不匹配，也就是说我们要计算每一个位置j对应的k，所以用一个数组next来保存，next[j] = k，表示当T[i] != P[j]时，j指针的下一个位置。另一个非常有用且恒等的定义，因为下标从0开始的，k值实际是j位前的子串的最大重复子串的长度。请时刻牢记next数组的定义，下面的解释是死死地围绕着这个定义来解释的。

public static int[] getNext(String ps) {

    char[] p = ps.toCharArray();
    int[] next = new int[p.length];
    next[0] = -1;
//模式串位置
    int j = 0;
//最大重复子串长度
    int k = -1;
    while (j < p.length - 1) {
//当最大重复子串还可以增加长度
       if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
           next[++j] = ++k;
       } else {
//不可增加
           k = next[k];
       }
    }
    return next;
}

这个版本的求next数组的算法应该是流传最广泛的，代码是很简洁。
求next数组的时候一共有四种情况。
1.当j为0时，如果这时候不匹配，怎么办？

像上图这种情况，j已经在最左边了，不可能再移动了，这时候要应该是i指针后移。所以在代码中才会有next[0] = -1;这个初始化。
2.当j为1的时候

显然，j指针一定是后移到0位置的。因为它前面也就只有这一个位置了。
3.当P[k] == P[j]时,

有next[j+1] == next[j] + 1

其实这个是可以证明的：

因为在P[j]之前已经有P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]。（next[j] == k）

这时候现有P[k] == P[j]，我们是不是可以得到P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j]。

即：P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]，即next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1。
4.P[k] != P[j]

从代码上看应该是这一句：k = next[k]。看了很多文章都说这里很难理解。我个人觉得就是当P[k] != P[j]的时候，k = next[k]的意思就是重新确定最大重复子串的长度，而这个长度就是next[k]的值，换个角度看k值就是当j值不匹配的时候模式串应该移动的位置。

本文章多有借鉴KMP算法，此篇文章写得更加详细，有兴趣的人可以多看看。