[unity3D基础知识]之Quaternion(四元数)和旋转
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本文介绍了四元数以及如何在OpenGL中使用四元数表示旋转。
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Quaternion 的定义四元数一般定义如下： q=w+xi+yj+zk 其中 w,x,y,z是实数。同时，有: i*i=-1
j*j=-1
k*k=-1
四元数也可以表示为： q=[w,v] 其中v=(x,y,z)是矢量，w是标量，虽然v是矢量，但不能简单的理解为3D空间的矢量，它是4维空间中的的矢量，也是非常不容易想像的。 通俗的讲，一个四元数（Quaternion）描述了一个旋转轴和一个旋转角度。这个旋转轴和这个角度可以通过 Quaternion::ToAngleAxis转换得到。 当然也可以随意指定一个角度一个旋转轴来构造一个Quaternion。这个角度是相对于单位四元数而言的，也可以说是相对于物体的初始方向而言的。 当用一个四元数乘以一个向量时，实际上就是让该向量围绕着这个四元数所描述的旋转轴，转动这个四元数所描述的角度而得到的向量。 四元组的优点1有多种方式可表示旋转，如 axis/angle、欧拉角(Euler angles)、矩阵(matrix)、四元组等。 相对于其它方法，四元组有其本身的优点：
Quaternion 的基本运算1Normalizing a quaternion// normalising a quaternion works similar to a vector. This method will not do anything
// if the quaternion is close enough to being unit-length. define TOLERANCE as something
// small like 0.00001f to get accurate results
void Quaternion::normalise()
{
// Don't normalize if we don't have to
float mag2 = w * w + x * x + y * y + z * z;
if ( mag2!=0.f && (fabs(mag2 - 1.0f) > TOLERANCE)) {
float mag = sqrt(mag2);
w /= mag;
x /= mag;
y /= mag;
z /= mag;
}
}
The complex conjugate of a quaternion// We need to get the inverse of a quaternion to properly apply a quaternion-rotation to a vector
// The conjugate of a quaternion is the same as the inverse, as long as the quaternion is unit-length
Quaternion Quaternion::getConjugate()
{
return Quaternion(-x, -y, -z, w);
}
Multiplying quaternions// Multiplying q1 with q2 applies the rotation q2 to q1
Quaternion Quaternion::operator* (const Quaternion &rq) const
{
// the constructor takes its arguments as (x, y, z, w)
return Quaternion(w * rq.x + x * rq.w + y * rq.z - z * rq.y,
w * rq.y + y * rq.w + z * rq.x - x * rq.z,
w * rq.z + z * rq.w + x * rq.y - y * rq.x,
w * rq.w - x * rq.x - y * rq.y - z * rq.z);
}
Rotating vectors// Multiplying a quaternion q with a vector v applies the q-rotation to v
Vector3 Quaternion::operator* (const Vector3 &vec) const
{
Vector3 vn(vec);
vn.normalise();
Quaternion vecQuat, resQuat;
vecQuat.x = vn.x;
vecQuat.y = vn.y;
vecQuat.z = vn.z;
vecQuat.w = 0.0f;
resQuat = vecQuat * getConjugate();
resQuat = *this * resQuat;
return (Vector3(resQuat.x, resQuat.y, resQuat.z));
}
How to convert to/from quaternions1Quaternion from axis-angle// Convert from Axis Angle
void Quaternion::FromAxis(const Vector3 &v, float angle)
{
float sinAngle;
angle *= 0.5f;
Vector3 vn(v);
vn.normalise();
sinAngle = sin(angle);
x = (vn.x * sinAngle);
y = (vn.y * sinAngle);
z = (vn.z * sinAngle);
w = cos(angle);
}
Quaternion from Euler angles// Convert from Euler Angles
void Quaternion::FromEuler(float pitch, float yaw, float roll)
{
// Basically we create 3 Quaternions, one for pitch, one for yaw, one for roll
// and multiply those together.
// the calculation below does the same, just shorter
float p = pitch * PIOVER180 / 2.0;
float y = yaw * PIOVER180 / 2.0;
float r = roll * PIOVER180 / 2.0;
float sinp = sin(p);
float siny = sin(y);
float sinr = sin(r);
float cosp = cos(p);
float cosy = cos(y);
float cosr = cos(r);
this->x = sinr * cosp * cosy - cosr * sinp * siny;
this->y = cosr * sinp * cosy + sinr * cosp * siny;
this->z = cosr * cosp * siny - sinr * sinp * cosy;
this->w = cosr * cosp * cosy + sinr * sinp * siny;
normalise();
}
Quaternion to Matrix// Convert to Matrix
Matrix4 Quaternion::getMatrix() const
{
float x2 = x * x;
float y2 = y * y;
float z2 = z * z;
float xy = x * y;
float xz = x * z;
float yz = y * z;
float wx = w * x;
float wy = w * y;
float wz = w * z;
// This calculation would be a lot more complicated for non-unit length quaternions
// Note: The constructor of Matrix4 expects the Matrix in column-major format like expected by
// OpenGL
return Matrix4( 1.0f - 2.0f * (y2 + z2), 2.0f * (xy - wz), 2.0f * (xz + wy), 0.0f,
2.0f * (xy + wz), 1.0f - 2.0f * (x2 + z2), 2.0f * (yz - wx), 0.0f,
2.0f * (xz - wy), 2.0f * (yz + wx), 1.0f - 2.0f * (x2 + y2), 0.0f,
0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f)
}
Quaternion to axis-angle// Convert to Axis/Angles
void Quaternion::getAxisAngle(Vector3 *axis, float *angle)
{
float scale = sqrt(x * x + y * y + z * z);
axis->x = x / scale;
axis->y = y / scale;
axis->z = z / scale;
*angle = acos(w) * 2.0f;
}
Quaternion 插值2线性插值最简单的插值算法就是线性插值，公式如： q(t)=(1-t)q1 + t q2 但这个结果是需要规格化的，否则q(t)的单位长度会发生变化，所以 q(t)=(1-t)q1+t q2 / || (1-t)q1+t q2 || 球形线性插值尽管线性插值很有效，但不能以恒定的速率描述q1到q2之间的曲线，这也是其弊端，我们需要找到一种插值方法使得q1->q(t)之间的夹角θ是线性的，即θ(t)=(1-t)θ1+t*θ2，这样我们得到了球形线性插值函数q(t)，如下： q(t)=q1 * sinθ(1-t)/sinθ + q2 * sinθt/sineθ 如果使用D3D，可以直接使用 D3DXQuaternionSlerp 函数就可以完成这个插值过程。 用 Quaternion 实现 Camera 旋转总体来讲，Camera 的操作可分为如下几类：
下面是一个使用了 Quaternion 的 Camera 类： class Camera {
private:
Quaternion m_orientation;
public:
void rotate (const Quaternion& q);
void rotate(const Vector3& axis, const Radian& angle);
void roll (const GLfloat angle);
void yaw (const GLfloat angle);
void pitch (const GLfloat angle);
};
void Camera::rotate(const Quaternion& q)
{
// Note the order of the mult, i.e. q comes after
m_Orientation = q * m_Orientation;
}
void Camera::rotate(const Vector3& axis, const Radian& angle)
{
Quaternion q;
q.FromAngleAxis(angle,axis);
rotate(q);
}
void Camera::roll (const GLfloat angle) //in radian
{
Vector3 zAxis = m_Orientation * Vector3::UNIT_Z;
rotate(zAxis, angleInRadian);
}
void Camera::yaw (const GLfloat angle) //in degree
{
Vector3 yAxis;
{
// Rotate around local Y axis
yAxis = m_Orientation * Vector3::UNIT_Y;
}
rotate(yAxis, angleInRadian);
}
void Camera::pitch (const GLfloat angle) //in radian
{
Vector3 xAxis = m_Orientation * Vector3::UNIT_X;
rotate(xAxis, angleInRadian);
}
void Camera::gluLookAt() {
GLfloat m[4][4];
identf(&m[0][0]);
m_Orientation.createMatrix (&m[0][0]);
glMultMatrixf(&m[0][0]);
glTranslatef(-m_eyex, -m_eyey, -m_eyez);
}
用 Quaternion 实现 trackball用鼠标拖动物体在三维空间里旋转，一般设计一个 trackball，其内部实现也常用四元数。 class TrackBall
{
public:
TrackBall();
void push(const QPointF& p);
void move(const QPointF& p);
void release(const QPointF& p);
QQuaternion rotation() const;
private:
QQuaternion m_rotation;
QVector3D m_axis;
float m_angularVelocity;
QPointF m_lastPos;
};
void TrackBall::move(const QPointF& p)
{
if (!m_pressed)
return;
QVector3D lastPos3D = QVector3D(m_lastPos.x(), m_lastPos.y(), 0.0f);
float sqrZ = 1 - QVector3D::dotProduct(lastPos3D, lastPos3D);
if (sqrZ > 0)
lastPos3D.setZ(sqrt(sqrZ));
else
lastPos3D.normalize();
QVector3D currentPos3D = QVector3D(p.x(), p.y(), 0.0f);
sqrZ = 1 - QVector3D::dotProduct(currentPos3D, currentPos3D);
if (sqrZ > 0)
currentPos3D.setZ(sqrt(sqrZ));
else
currentPos3D.normalize();
m_axis = QVector3D::crossProduct(lastPos3D, currentPos3D);
float angle = 180 / PI * asin(sqrt(QVector3D::dotProduct(m_axis, m_axis)));
m_axis.normalize();
m_rotation = QQuaternion::fromAxisAndAngle(m_axis, angle) * m_rotation;
m_lastPos = p;
}
Yaw, pitch, roll 的含义3Yaw – Vertical axis：
Pitch – Lateral axis
Roll – Longitudinal axis
The Position of All three axes
Reference
四元數在電腦圖形學中用於表示物體的旋轉，在unity中由x,y,z,w 表示四個值。 四元數是最簡單的超複數。複數是由實數加上元素 i 組成，其中i^2 = -1 \,。 相似地，四元數都是由實數加上三個元素 i、j、k 組成，而且它們有如下的關係： i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \, 每個四元數都是 1、i、j 和 k 的線性組合，即是四元數一般可表示為a + bi + cj + dk \,。 具體的四元數知識可從百度、維基等網站瞭解。 http://baike.baidu.com/view/319754.htm 現在只說說在unity3D中如何使用Quaternion來表達物體的旋轉。 基本的旋轉我們可以用腳本內置旋轉函數transform.Rotate()來實現。 function Rotate (eulerAngles : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url], relativeTo : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Space.html]Space[/url] = [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Space.Self.html?from=Transform]Space.Self[/url]) : void 但是當我們希望對旋轉角度進行一些計算的時候，就要用到四元數Quaternion了。我對高等數學來說就菜鳥一個，只能用最樸素的方法看效果了。 Quaternion的變量比較少也沒什麼可說的，大家一看都明白。唯一要說的就是x\y\z\w的取值範圍是[-1,1],物體並不是旋轉一周就所有數值回歸初始值，而是兩周。 初始值： (0,0,0,1) 沿著y軸旋轉：180°(0,1,0,0) 360°（0,0,0,-1）540°(0,-1,0,0) 720°(0,0,0,1) 沿著x軸旋轉：180°(-1,0,0,0) 360°（0,0,0,-1）540°(1,0,0,0) 720°(0,0,0,1) 無旋轉的寫法是Quaternion.identify 現在開始研究Quaternion的函數都有什麼用。 函數 1）function ToAngleAxis (out angle : float, out axis : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url]) : void DescriptionConverts a rotation to angle-axis representation 這個函數的作用就是返回物體的旋轉角度（物體的z軸和世界坐標z軸的夾角）和三維旋轉軸的向量到變量out angle 和out axis 腳本： var a=0.0; var b=Vector3.zero; transform.rotation.ToAngleAxis(a,b); 輸入：transform.localEularAngles=(0,0,0); 輸出： a=0, b=(1,0,0); 輸入：transform.localEularAngles=(0,90,0); 輸出：a=90, b=(0,1,0); 輸入：transform.localEularAngles=(270,0,0); 輸出：a=90, b=(-1,0,0) 2）function SetFromToRotation (fromDirection : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url], toDirection : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url]) : void DescriptionCreates a rotation which rotates from fromDirection to toDirection. 這個函數的作用是把物體的fromDirection旋轉到toDirection 腳本： var a:Vector3; var b:Vector3; var q:Quaternion; var headUpDir:Vector3; q.SetFromToRotation(a,b); transform.rotation=q; headUpDir=transform.TransformDirection(Vector3.Forward); 輸入：a=Vector3(0,0,1); b=Vector3(0,1,0)//把z軸朝向y軸 輸出： q=(-0.7,0,0,0.7); headUpDir=(0,1,0) 輸入：a=Vector3(0,0,1); b=Vector3(1,0,0)//把z軸朝向x軸 輸出： q=(0,0.7,0,0.7); headUpDir=(1,0,0) 輸入：a=Vector3(0,1,0); b=Vector3(1,0,0)//把y軸朝向x軸 輸出： q=(0,0,-0.7,0.7); headUpDir=(0,0,1) 3）function SetLookRotation (view : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url], up : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url] = [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3-up.html?from=Quaternion]Vector3.up[/url]) : void DescriptionCreates a rotation that looks along forward with the the head upwards along upwards Logs an error if the forward direction is zero. 這個函數建立一個旋轉使z軸朝向view y軸朝向up。這個功能讓我想起了Maya裡的一種攝像機lol，大家自己玩好了，很有趣。 腳本： var obj1: Transform; var obj2: Transform; var q:Quaternion; q.SetLookRotation(obj1.position, obj2.position); transform.rotation=q; 然後大家拖動obj1和obj2就可以看到物體永遠保持z軸朝向obj1，並且以obj2的位置來保持y軸的傾斜度。 傻逗我玩了半天 哈哈^^ 這個功能挺實用的。 4）function ToString () : string DescriptionReturns a nicely formatted string of the Quaternion 這個一般用不著吧？看不懂的一邊查字典去~ Class Functions 1）四元數乘法 * 建議非特別瞭解的人群就不要用了。 作用很簡單，c=a*b (c,a,b∈Quaternion)可以理解為 ∠c=∠a+∠b 但是a*b 和b*a效果不一樣的。 2) == 和 != 不解釋了 3）static function Dot (a : Quaternion, b : Quaternion) : float DescriptionThe dot product between two rotations 點積，返回一個float. 感覺用處不大。Vector3.Angle()比較常用。 4）static function AngleAxis (angle : float, axis : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url]) : Quaternion DescriptionCreates a rotation which rotates angle degrees around axis. 物體沿指定軸向axis旋轉角度angle, 很實用的一個函數也是。 腳本： var obj1: Transform; var obj2: Transform; var q:Quaternion; //物體沿obj2的z軸旋轉，角度等於obj1的z軸。 q=Quaternion.AngleAxis(obj1.localEularAngle.z, obj2.TransformDirection(Vector3.forward)); transform.rotation=q; 5）static function FromToRotation (fromDirection : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url], toDirection : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url]) : Quaternion DescriptionCreates a rotation which rotates from fromDirection to toDirection. Usually you use this to rotate a transform so that one of its axes eg. the y-axis - follows a target direction toDirection in world space. 跟SetFromToRotation差不多，區別是可以返回一個Quaternion。通常用來讓transform的一個軸向(例如 y軸)與toDirection在世界坐標中同步。 6）static function LookRotation (forward : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url], upwards : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url] = [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3-up.html?from=Quaternion]Vector3.up[/url]) : Quaternion DescriptionCreates a rotation that looks along forward with the the head upwards along upwards Logs an error if the forward direction is zero. 跟SetLootRotation差不多，區別是可以返回一個Quaternion。 7）static function Slerp (from : Quaternion, to : Quaternion, t : float) : Quaternion DescriptionSpherically interpolates from towards to by t. 從from 轉換到to，移動距離為t。也是很常用的一個函數，用法比較多，個人感覺比較難控制。當兩個quaternion接近時，轉換的速度會比較慢。 腳本： var obj1: Transform; var t=0.1; var q:Quaternion; //讓物體旋轉到與obj1相同的方向 q=Quaternion.Slerp(transform.rotation, obj1.rotation,t); transform.rotation=q; 根據我個人推測，可能t 代表的是from 和to 之間距離的比例。為此我做了實驗並證明了這一點即： q=Quaternion.Slerp(a,b,t); q,a,b∈Quaternion t[0,1] q=a+(b-a)*t 並且t最大有效範圍為0~1 腳本： var obj1: Transform; var obj2：Transform； var t=0.1; var q:Quaternion; //讓物體obj1和obj2 朝向不同的方向，然後改變t q=Quaternion.Slerp(obj1.rotation, obj2.rotation,t); transform.rotation=q; t+=Input.GetAxis("horizontal")*0.1*Time.deltaTime； 7）static function Lerp (a : Quaternion, b : Quaternion, t : float) : Quaternion DescriptionInterpolates from towards to by t and normalizes the result afterwards. This is faster than Slerp but looks worse if the rotations are far apart 跟Slerp相似，且比Slerp快，.但是如果旋轉角度相距很遠則會看起來很差。 8）static function Inverse (rotation : Quaternion) : Quaternion DescriptionReturns the Inverse of rotation. 返回與rotation相反的方向 9）static function Angle (a : Quaternion, b : Quaternion) : float DescriptionReturns the angle in degrees between two rotations a and b. 計算兩個旋轉之間的夾角。跟Vector3.Angle() 作用一樣。 10）static function Euler (x : float, y : float, z : float) : Quaternion DescriptionReturns a rotation that rotates z degrees around the z axis, x degrees around the x axis, and y degrees around the y axis (in that order). 把旋轉角度變成對應的Quaternion 以上就是Quaternion的所有函數了。 關於應用，就說一個，其他的有需要再補充。 Slerp 函數是非常常用的一個函數，用來產生旋轉。 static function Slerp (from : Quaternion, to : Quaternion, t : float) : Quaternion 對於新手來說，最難的莫過於如何用它產生一個勻速的旋轉。如果想用它產生勻速轉動，最簡單的辦法就是把form和to固定，然後勻速增加t 腳本： var obj1: Transform; var obj2：Transform； var speed:float; var t=0.1; var q:Quaternion; q=Quaternion.Slerp(obj1.rotation, obj2.rotation,t); transform.rotation=q; t+=Time.deltaTime; 但是這並不能解決所有情況。 很多時候from 和to都不是固定的，而且上一個腳本也不能保證所有角度下的旋轉速度一致。所以我寫了這個腳本來保證可以應付大多數情況。 腳本： var target: Transform; var rotateSpeed=30.0; var t=float; var q:Quaternion; var wantedRotation=Quaternion.FromToRotation(transform.position,target.position); t=rotateSpeed/Quaternion.Angle(transform.rotation,wantedRotation)*Time.deltaTime; q=Quaternion.Slerp(transform.rotation, target.rotation,t); transform.rotation=q; 這個腳本可以保證物體的旋轉速度永遠是rotateSpeed。 第七行用旋轉速度除以兩者之間的夾角得到一個比例。 如果自身坐標和目標之間的夾角是X度，我們想以s=30度每秒的速度旋轉到目標的方向,則每秒旋轉的角度的比例為s/X。再乘以每次旋轉的時間Time.deltaTime我們就得到了用來勻速旋轉的t值 |