线性代数矩阵论——行列式的一些性质推论及Cramer法则

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行列式的性质及推论

1. 对角行列式的值为主对角线上元素的乘积

2. 辅对角行列式的值

3. 上三角和下三角行列式的值为主对角线上元素的乘积

4. 若行列式的某一行（列）的元素皆为零，则行列式的值为零

5. 交换行列式两行（列）元素的位置，行列式反号

6. 若行列式有两行（列）元素相同，则行列式的值为零

7. 将行列式转置，行列式的值不变，即

8. 若行列式有两行（列）元素对应成比例，则行列式的值为零

9. 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式

10. 设A，B为n阶方阵

11. 若行列式中某一行（列）元素都可表示为两元素与之和，即，则该行列式可表示为两行列式之和。（可以推广到m个数之和的情况）

12. 把行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变

13. 奇数阶但对称行列式的值为零

14. 范德蒙德（Vandermonde）行列式

 

对于方程个数与未知量个数相等的线性方程组

Cramer法则：若方程组的系数行列式，则方程组有唯一解

• 如果线性方程组的系数行列式，则有唯一解；
• 如果线性方程组的系数行列式，则无解或多个解；

从目前来看行列式的意义，主要体现在Cramer法则中，用来确定（方程个数与未知量个数相等）线性方程组的解（唯一解、多个解或无解），并求取参数值。

但更为普适的方法（针对任意方程组），应求增广矩阵的秩。

 

参考文献：

[1] 刘先忠, 杨明. 线性代数. 北京: 高等教育出版社.