bzoj4555 [HEOI2016/TJOI2016]求和

题目描述

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在2016年，佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数，非常开心。
现在他想计算这样一个函数的值:

f(n)=∑i=0n∑j=0iS(i,j)×j!×2j f ( n ) = ∑ i = 0 n ∑ j = 0 i S ( i , j ) × j ! × 2 j

S(i, j)表示第二类斯特林数
你能帮帮他吗?

输出f(n)。由于结果会很大，输出f(n)对998244353(7 × 17 × 223 + 1)取模的结果即可

Solution

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首先j的枚举上界可以直接变成n，原因可以考虑当i< j时第二类斯特林数为0
第二类斯特林数可以拆，那么就是

∑i=0n∑j=0n2j×j!∑k=0j(−1)k×C(j,k)×(j−k)i ∑ i = 0 n ∑ j = 0 n 2 j × j ! ∑ k = 0 j ( − 1 ) k × C ( j , k ) × ( j − k ) i

组合数也可以拆，那么就是

∑i=0n∑j=0n2j×j!∑k=0j(−1)kk!×(j−k)i(j−k)! ∑ i = 0 n ∑ j = 0 n 2 j × j ! ∑ k = 0 j ( − 1 ) k k ! × ( j − k ) i ( j − k ) !

把最外面的∑拉到最里面有

∑j=0n2j×j!∑k=0j(−1)kk!×∑ni=0(j−k)i(j−k)! ∑ j = 0 n 2 j × j ! ∑ k = 0 j ( − 1 ) k k ! × ∑ i = 0 n ( j − k ) i ( j − k ) !

后半部分实际上是个卷积，i的∑实际上是等比数列求和，NTT一下求解就好了

Code

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#include 
#include 
#include 
#include 
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int MOD=998244353;
const int N=300005;
const int G=3;

int fac[N],a[N],b[N],c[N];
int rev[N],inv[N];
int len,lg,ny;

LL ksm(LL x,LL dep) {
    if (dep==0) return 1;
    if (dep==1) return x;
    LL tmp=ksm(x,dep/2);
    if (dep&1) return tmp*tmp%MOD*x%MOD;
    return tmp*tmp%MOD;
}

void DFT(int *a,int f) {
    rep(i,0,len-1) if (istd:: swap(a[rev[i]],a[i]);
    for (int i=1;i2) {
        int wn;
        if (f==1) wn=ksm(G,(MOD-1)/i/2);
        else wn=ksm(G,MOD-1-(MOD-1)/i/2);
        for (int j=0;j2) {
            int w=1;
            for (int k=0;kint u=a[j+k],v=(LL)a[j+k+i]*w%MOD;
                a[j+k]=(u+v)%MOD;
                a[j+k+i]=(u-v)%MOD;
                w=(LL)w*wn%MOD;
            }
        }
    }
    if (f==-1) rep(i,0,len-1) a[i]=(LL)a[i]*ny%MOD;
}

void pre_work(int n) {
    fac[0]=1; rep(i,1,n) fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%MOD;
    inv[0]=1; rep(i,1,n) inv[i]=ksm(fac[i],MOD-2);
    for (len=1;len<=n*2;len<<=1,lg++);
    rep(i,0,len-1) rev[i]=(rev[i/2]/2)|((i&1)<<(lg-1));
    ny=ksm(len,MOD-2);
}

int main(void) {
    int n; scanf("%d",&n); pre_work(n);
    rep(i,0,n) a[i]=((i&1)?(-1):(1))*inv[i];
    a[0]=1; b[0]=1; b[1]=n+1;
    rep(i,2,n) b[i]=(LL)((LL)(ksm(i,n+1)-1)*inv[i]%MOD*ksm(i-1,MOD-2)%MOD+MOD)%MOD;
    rep(i,0,n) printf("%d %d\n", a[i],b[i]);
    DFT(a,1); DFT(b,1);
    rep(i,0,len-1) a[i]=(LL)a[i]*b[i]%MOD;
    DFT(a,-1);
    LL ans=0; rep(i,0,n) ans=(ans+(LL)a[i]*fac[i]%MOD*ksm(2,i)%MOD)%MOD;
    printf("%lld\n", (ans+MOD)%MOD);
    return 0;
}