北邮通信原理知识点笔记小结-上半部分

北邮通信原理知识点小结-1

第一章 绪 论

1. 数字信号和模拟信号的比较

数字通信比模拟通信有着更强的抗干扰能力，可以消除噪声积累，便于集成化、加密性能好，但是代价是什么呢？

数字信号需要更高的带宽，频带利用率不高、对于同步信号要求高。

2. 离散消息的信息量

$$H=-\sum _{i=1}^{M}p\left(x_i\right){\log }_{2}p\left(x_i\right)bit/符号$$

上述公式中H代表每个符号的平均信号量。

当消息集的各个元素（符号）在消息序列中等概独立出现时，其符号熵最大，等于：
$$H=-\sum _{i=1}^M\frac{1}{M}{\log }_2\frac{1}{M}={\log }_{2}Mbit/符号$$
当二元消息集的元素在消息中等概率独立出现时，其符号熵最大，等于： 1 bit/符号。

3. 通信系统的主要性能指标

模拟通信系统:

有效性通常用单位带宽内传送的电话路数或电视路数表示，而可靠性是 用接受端的输出信噪比来度量。

数字通信系统：

数字通信系统的有效性的主要性能指标是传输速率、频带利用率。可靠性主要是差错率。

1.传输速率：

1）码元传输速率（R_g）：码元传输速率简称传码率，也称码元速率或符号速率。它被定义为单位时间（s^-1）内 传输码元的数目，单位为波特，记为 Baud 或 B。码元速率与所传的码元进制无关，即码元可以是多进制的也可以是二进制的。通常一个 M 进制的码元可以用 log2M 个二进制码元表示。码元速率又叫做调制速率。它表示信号调制过程中，1 秒中内调制信号波形的变换次数。如果一个单位调制信号波形的时间长度为 T 秒，则调制速率为
$$R_B=\frac{1}{T}B$$
2）信息传输速率（R_b）

信息传输速率简称传信率，又称信息速率。它被定义为单位时间（s^-1）内传递的信息 量（bit 数），单位是 比特/秒，也记为 bit/s 或 bps。 信息传输速率=码元传输速率*符号平均信息量

2.频带利用率:

频带利用率可以有两种表示方法，一种是单位带宽中的传码率，即：
$$\eta =\frac{RB}{\Delta f}\mathrm{B}/\mathrm{H}\mathrm{z}$$
或单位带宽内的传信率，即：
$$\beta =\frac{Rb}{\Delta f}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{t}/\mathrm{s},\mathrm{H}\mathrm{z}$$
其中：Δf 为系统带宽。 严格讲，第二种表示方法更为确切地反映了系统的频带利用率。

3.可靠性指标:

数字通信系统的可靠性指标是差错率，常用误码率和误信率表示。误码率（也称误符号 率）为接收码元错误的概率，可表示为:
$$P_e=\frac{错误码元数}{传输总码数}$$
误信率（也称误比特率）是信息比特错误的概率，可表示为：
$$P_e=\frac{错误比特数}{传输总比特数}$$
在多进制中，误判错一个码元，对应着错误1到log₂M个比特，所以总是有误信率（误比特率）小等于误码率。

第二章 随机过程

1. 随机过程的基本概念

随机过程是随时间变化的随机变量，它的实现（样本函数）是时间函数。无穷多个样本函数 （实现）的集合构成一个随机过程。我们用大写字母 X（t）,Y（t）,Z（t）,等表示随机过程； 用小写字母 x(t),y(t),z(t)等表示对应的随机过程的实现（样本函数）。

在确定的时刻 t1，随机过程 X(t1),是一个随机变量在时刻 t1,t2,X(t1),X(t2)构成一个二维的 随机向量；在时刻 t1,t2,t3,…,tn,X(t1),X(t2),X(t3),…,X(tn)，构成一个 n 维的随机向量。

2. 分布函数和概率密度

一维概率密度：

这个和高数上的定义实际上一样的，概率密度由以为分布函数求导而得到，一维分布函数：
$$F_1\left(x_1,t_1\right)=p\left[X\left(t_1\right)\le x_1\right]$$
上述公式对随机变量x求导，得到：
$$\frac{\partial F_1\left(x_1,t_1\right)}{\partial x_1}=f_1\left(x_1,t_1\right)$$
n维概率密度：

显然，随机过程的一维分布函数和一维概率密度仅仅描述随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有反映随机过程在各个时刻取值之间的内在联系，通常还需要在足够多的时刻上考虑随机过程的多维分布函数。X(t)的 n 维分布函数被定义为：
$$\begin{array}{l}{F}_n\left(x_1,x_2,\dots ,x_n;t_1,t_2\dots ,t_n\right)\\ =P\left[X\left(t_1\right)\le x_1,X\left(t_2\right)\le x_2,\dots ,X\left(t_n\right)\le x_n\right]\end{array}$$
假设求导成立，那么n维概率密度则是如下：
$$\frac{{\partial }^{\prime \prime }{F}_n\left(x_1,x_2,\dots ,x_n;t_1,t_2\dots ,t_n\right)}{\partial x_1\partial x_2\dots \partial x_n}=f_n\left(x_1,x_2,\dots ,x_n;t_1,t_2\dots ,t_n\right)$$
显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。

3. 随机过程的数字特征

在实际工作中，有时不需要了解随机过程的分布函数和概率密度，只需知道随机过程的某些数字特征，如均值、方差及相关函数等即可满足需要。

（1）均值（数学期望或统计平均）：
$$E[X(t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_1(x,t)dx$$
并记为 E[X（t）]=a(t)。均值表示随机过程的摆动中心。

（2）方差：
$$\begin{array}{l}D[X(t)]=E\left\{[X(t)-a(t){]}^2\right\}=E[X(t){]}^2-[a(t){]}^2\\ ={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{f}_1(x,t)dx-[a(t){]}^2\end{array}$$
D[X(t)]常记为σ²(t) ，方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程 在某时刻对于其均值的偏离程度。

均值和方差是刻画随机过程在各个孤立时刻统计特性的重要数字特征，为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。

（3）相关函数：

自协方差函数：

可以认为自协方差是某个信号与其自身经过一定时间平移之后的相似性，自协方差σ就表示了在那个时延的相关性。
$$B\left(t_1,t_2\right)=E\left\{\left[X\left(t_1\right)-a\left(t_1\right)\right]\left[X\left(t_2\right)-a\left(t_2\right)\right]\right\}$$
自相关函数：

是一个信号于其自身在不同时间点的互相关。非正式地来说，它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差函数。如果要写为 τ =t1-t2，那么就可以使用一个参数来表示自相关函数。这里的E()都是指期望，是可以使用一个积分算式来表示的。

$$R\left(t_1,t_2\right)=E\left[X\left(t_1\right)X\left(t_2\right)\right]$$
互相关函数：
$$R_{XY}\left(t_1,t_2\right)=E\left[X\left(t_1\right)Y\left(t_2\right)\right]$$

4. 平稳随机过程

狭义平稳随机过程：

狭义平稳随机过程，又称严平稳妥过程。其 n 维分布函数和 n 维概率密度与时间起点无关。 平隐随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。例如，其一维概率密度与时间无关：
$$f_1(x,t)=f_1(x)$$
而二维概率密度函数只与时间间隔有关：
$$f_2\left(x_1,x_2;t_1,t_2\right)=f_2\left(x_1,x_2;\tau \right)$$
广义平稳随机过程：

广义平衡随机过程，又称宽平稳随机过程。其定义为：若随机过程的数学期望和方差与时间无关，而相关函数仅与时间间隔τ有关，即
$$\begin{array}{rl}a(t)& =a\\ {\sigma }^2(t)& ={\sigma }^2\\ R\left(t_1,t_1+\tau \right)& =R(\tau )\end{array}$$
在通信系统中所遇到的信号及噪声的大多数均可视为广义平稳随机过程。

广义平稳随机过程的性质：

1.各态历经性（遍历性）

设 x（t）是平稳随机过程 X（t）的任意一个实现（样函数），若 X（t）的数字特征（统 计平均）可由 X（t）的时间平均代替，即：
$$\begin{array}{l}a=\bar{a}={\lim }_{T\to \infty }\frac{1}{T}{\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)dt\\ {{\sigma }^2={\bar{\sigma }}^2={\lim }_{T\to \infty }\frac{1}{T}{\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)-\bar{a}]}^{2}dt\\ R(\tau )=\overline{R(\tau )}={\lim }_{T\to \infty }\frac{1}{T}{\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)x(t+\tau )dt\end{array}$$
则称平稳过程 X(t)具有各态历经性，简称遍历性。

注意，只有平稳随机过程才具有遍历性，在能信系统中所遇到的随机信号和器声，一般均能满足遍历条件。

2.自相关函数的性质

设 X(t)为平稳随机过程，则其自相关函数具有如下性质：

平均功率：
$$\mathrm{R}(0)=\mathrm{E}\left[{\mathrm{X}}^2(\mathrm{t})\right]$$
直流功率：
$$\mathrm{R}(\infty )={\mathrm{E}}^2[\mathrm{X}(\mathrm{t})]$$
交流功率（方差）：
$$\mathrm{R}(0)-\mathrm{R}(\infty )={\sigma }^2$$
R(τ)是偶函数。

R(τ)的上界为R(0)：
$$|\mathrm{R}(\tau )|⩽\mathrm{R}(0)$$

5. 自相关函数与功率谱密度的傅里叶关系

平稳随机过程的功率谱密度表示其单位带宽中平均功率在不同频率上的分布情况。

平稳随机过程的功率谱密度 P_x(ω)与其自相关函数 R_x(τ) 是一对傅立叶变换，即
$$\begin{array}{l}{p}_x(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_X(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \\ R_x(\tau )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{P}_X(\omega )d\omega \end{array}$$
当τ等于0时有：
$$R_X(0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{P}_X(\omega )d\omega$$
又因为R_x(0)为平均功率，所以 P_X(ω)的物理含义：即单位带宽中的平均功率。

自相关函数与功率谱密度的傅里叶关系是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。

6. 白噪声

1．定义：

白噪声是带宽非常大的噪声的数学模型。其定义为：均值为 0 的平稳随机过程， 其功率谱密度在整个频段为一常数。通常用 n(t)表示白噪声，其功率谱密度为（平坦的直线）：
$$P_n(\omega )=\frac{n_0}{2}-\infty <\omega <\infty$$
由傅里叶关系可得，它的自相关函数为：
$$R_n(\tau )=\frac{n_o}{2}\delta (\tau )$$
2．白噪声的某些特性：

白噪声的期望为0。

白噪声的自相关函数为狄拉克δ函数：意味着： 噪声的时域信号中任意两个不同时刻是不相关。
$$r_{nn}=\mathbb{E}\{n(t)n(t-\tau )\}=\delta (\tau )$$
方差为n₀/2

7. 高斯随机过程

1．定义

任意 n 维分布都服从正态分布的随机过程称为高斯过程。

2．重要性质

（1）若高斯过程是广义平衡的，则也是狭义平稳的；

（2）若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的；

（3）若干个高斯过程之和的过程仍是高斯型；

（4）高斯过程经过线性过线变换（或线性系统）后的过程仍是高斯型。

3．一维概率密度和分布函数

1）概率密度函数

高斯过程在给定任一时刻上，是一高期随机变量，其概率密度函数可表示为：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left[-\frac{(x-a{)}^2}{2{\sigma }^2}\right]$$
式中，a 及σ²为两个常量。 当 a=0,σ=1 时，称 f(x) 为标准正态概率密度函数。

2）正态分布函数

正态分布函数是正态概率密度函数的积分，即:
$$P(X\le x)=F(x)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left[\frac{(z-a{)}^2}{2{\sigma }^2}\right]dz$$
标准正态分布函数如下：
$$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x\exp \left[-\frac{z^2}{2}\right]dz$$
这个积分只能利用数值法计算，一般数学手册中有它的数值表，可以查阅。

正态分布函数可以由概率积分函数表示：
$$P(X\le x)=F(x)=\varphi \left(\frac{x-a}{\sigma }\right)$$
可以证明:
$$\begin{array}{l}\varphi (x)+\varphi (-x)=1\\ \frac{1}{2}\mathrm{erfc}(x)=1-\varphi (\sqrt{2x})=\varphi (-\sqrt{2x})\\ 其中：\pi :\mathrm{erfc}(x)=1-\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_x^{\infty }{e}^{-z^2}dz\end{array}$$
称作互补误差函数；
$$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-z^2}dz$$
称作误差函数。

第三章 确定信号分析

1.引言

通信系统中利用信号表示信息和传关信息。一般信号是时间的函数。确定信号是指可以用确定的时间函数表示的信号。实际载荷信息的各种信号是许多信号的集合体，并具有一定的统计规律性.这种信号称作随机信号，将在第三章研究。本章研究的确定信号可以是随机信号 的样函数（实现）或是载波信号的数学模型。

2.周期信号

若 f (t) = f (t + T) 对于任何 t 值成立，其中 T 为任一常数，则称 f(t)为周期信号， T 为其周期。

性质：

1）若 T 是 f(t)的周期，则 nT 也是 f(t)的周期.其中 n 为任意整.即：f (t) = f (t + nT )

2）s(t) = f (at)的周期等于T/a

3）同周期信号的和、差、积也是周期信号，且具有同一周期。

3. 能量信号与功率信号以及信号的能量

电流设为：
$$i(t)=f(t)$$
假设在单位欧姆电阻上工作，那么能量为：
$$E_f={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}^2(t)dt$$
前提：E_f< ∞， 一般限时信号的能量有限，为能量信号，但是有些非限时信号也有能量有限，例如：e的-t²在时域积分为 √π/2，其为著名的高斯积分。而周期信号能量总是无穷大，所以绝对不可能是能量信号。

功率信号：
$$0<\mathrm{limit}\frac{1}{T_1}{\int }_{\frac{-T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}{f}^2(t)dt<\infty$$
周期信号为功率信号，非周期不限时信号也可能是功率信号。

4. 周期信号的三角付立叶级数（谐波分析）

令 f(t)为周期信号，周期为 T,且满足狄里赫利条件*（一般实际信号均满足），则 f(t)可展开为以下级数：
$$f(t)=a_0+\sum _{n=t}^{\infty }{a}_n\cos n{\omega }_0^t+b_n\sin n{\omega }_0^t$$

$${\mathrm{a}}_{\mathrm{o}}=\frac{1}{\mathrm{T}}{\int }_c^{c+T}f(t)dt$$

$$\begin{array}{rl}an& =\frac{2}{T}{\int }_c^{c+T}f(t)\cos n{\omega }_{0}tdt\\ b_n& =\frac{2}{T}{\int }_C^{c+T}f(t)\sin n{\omega }_{0}tdt\end{array}$$

c 为常数，其值可任选。通常选 c= -T/2。

狄里赫利条件为：在一个周期内 f(t)只有有限个一类不连续点，且可将 T 分为有限个区间， 在每一个区间内 f(t)为单调断数。
$$a_n\cos n{\omega }_{0}t+b_n\sin n{\omega }_{0}t=c_n\cos \left(n{\omega }_{0}t+{\varphi }_n\right);c_0=a_0,{\varphi }_0=0$$
则有：
$$f(t)=\sum _0^{\infty }{c}_n\cos \left(n{\omega }_{0}t+{\varphi }_n\right)$$
由上述公式可知：周期信号展开为许多不同幅度、频率和相位的正弦信号之和。这些信号称作 f(t) 的谐波。其中：c₀为直流分量，c₁Cos(ω₀t+φ_ω)称为 f(t)的一次谐波（又称基波），c_nCos(nω₀t+φ_ω)称作 f(t)的 n 次谐波。

幅频特性：它表示不同谐波幅度大小与频率的关系。 C_n 与ω的关系称作 f(t) 的幅度—频率特性。

相频特性： Φ_n 与ω的关系称作 f(t) 的相位-频率特性。

不难看出 c_n Φ_n 仅在ω=nω₀ 处有值 （n=1，2，3，…）因此，C_nφ_n与ω的关系是离散的，因此称作离散频谱。（也称线频谱）。 谱线间隔为ω₀ =2π/T，T 愈大，ω₀愈小，即谱线愈密。

5. 周期信号的指数付立叶级数

利用欧拉公式：
$$\cos x=\frac{1}{2}\left(e^{j^x}+e^{-jx}\right)$$
可以将三角付立叶级数化为指数信立叶级数。后者分析和计算比较方便，因此应用广泛。
$$c_n\cos \left(n{\omega }_{0}t+{\varphi }_n\right)=\frac{c_n}{2}{e}^{j\varphi n}{e}^{jn\omega d}+\frac{c^n}{2}{e}^{-jn}{e}^{-jn\omega \delta }$$
令：
$$F_n=\frac{c_n}{2}{e}^{j{\omega }_n},F=\frac{c_n}{2}{e}^{-j{\omega }_n}且:{\varphi }_{-n}={\varphi }_n$$
f（t）可表示为：
$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn\alpha d}(-\infty <t<\infty )$$
其中：
$$F_n=\frac{1}{T}{\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jnadd}dt$$
一般情况，Fn，F-n是复数，若 f(t)是实函数，则 Fn 和 F-n 一对共轭复数，即：
$${\mathrm{F}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{F}}_{-\mathrm{n}}^{\ast }$$
此时有：
$$|F_n/=/F_{-n}/=\frac{c_n}{2};{\varphi }_{-n}={\varphi }_n$$
不难看出，幅度频谱是ω的偶函数，相位频谱是ω的奇函数，它们仅在ω=nω₀(n=0,±1， ±2，±3…整数)即频率取离散值时有值，因此称其为离散频谱，又称为线频谱。又因ω取正负值，故又称双边频谱。许多情况利用信号的频谱进行分析比较直观方便。

6. 信号的付立叶变换

周期信号的频谱分析可以推广到非周期信号。 这里就不具体阐述了。
$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$$

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega$$

第一个式子为 f(t)的付立叶变换，又称作频谱密度，第二个式子为付立叶反变换。

下图转载于： https://blog.csdn.net/Einstellung/article/details/77579386

$$H=-\sum _{i=1}^{M}p\left(x_i\right){\log }_{2}p\left(x_i\right)$$

7. 单位冲击函数的性质

通常单位冲击函数以δ（t）表示，其定义如下：
$$\delta (t)\{\begin{array}{l}\infty ,t=0\\ 0,t\ne 0\end{array}$$
且有：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1$$
取样性质：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)\delta \left(t-t_0\right)dt=x\left(t_0\right)$$
尺度变换：
$${\delta }^{(n)}(at)=\frac{1}{|a|}\cdot \frac{1}{a^n}{\delta }^{(n)}(t)$$
傅里叶变换：
$$F\left[\delta \left(t-t_0\right)\right]={\int }_{-\infty }^{\infty }\delta \left(t-t_0\right)e^{-j\omega t}dt=e^{-j\omega t_0}$$

$$F^{-1}[\delta (\omega )]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (\omega )e^{j\omega t}d\omega =\frac{1}{2\pi }\iff \delta (\omega )$$

8. 周期信号的付立叶变换

令 f(t)为周期信号，周期为 T，且满足狄列赫利条件，则可展开为付立叶级数：
$$\begin{array}{l}f(t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}\\ Fn=\frac{1}{T}{\int }_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt\end{array}$$
其中又有： ω₀=2π/T

所以我们对上中的每一个离散的n取值做傅里叶变换，得到：
$$F[f(t)]=F\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_{n}F\left[e^{jn{\omega }_{0}t}\right]=2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n\delta \left(\omega -n{\omega }_0\right)$$
即周期信号的付立叶变换（频谱谱密度）为一冲激序列，间隔为 ω₀=2π/T,强度决定于相应的付立叶级数的系数F_n.

9. 能量谱密度与功率谱密度以及信号带宽

1.帕色瓦尔定理

f(t)为实能量信号，则有：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{f}^2(t)dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|F(\omega ){|}^{2}d\omega$$
2.功率谱密度

f(t)首先要为功率信号，实际上通常是周期信号：
$$P_f=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }P(\omega )d\omega ={\int }_{-\infty }^{\infty }P(2\pi f)df$$
虽然式子是这么写的，但是一般功率谱都是由自相关函数进行傅里叶变换得到的。

3. 信号带宽

信号带宽是指信号的能量或功率的主要部分集中的频率范围。若信号的主要能量或功率集中在零频率附近则称这种信号为基带信号。若信号的能量或功率集中在某一载波频率附近，则称此类信号为频带信号。

介绍一下一般的情况：若 E(ω)或 P（ω）在 0 频率处最大，则可以将 E（ω）或 P（ω）值下降到 3db（半 功率点）的频率定为信号带宽。 第一个为能量信号，第二个为功率信号。
$$B=\frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }E(2\pi f)df}{2E(0)}$$

$$B=\frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }P(2\pi f)df}{2P(0)}$$

10.确定信号的相关函数

1.互相关函数的定义

令 f₁(t)，f₂(t)为能量信号，一般情况可以是时间的复函数。互相关函数为：
$$R_{12}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(t)f_2(t+\tau )dt$$
令 f₁(t)，f₂(t)为功率信号，互相关函数为：
$$\begin{array}{c}{R}_{12}(\tau )=limit\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_1(t)f_2(t+\tau )dt\\ T\to \infty \end{array}$$
功率信号： f₁(t)和 f₂(t)为周期信号（周期为 T），则有：少了一个T趋向于无穷大的取极限。
$$R^{12}(\tau )=\frac{1}{T}{\int }_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_1(t)f_2(t+\tau )dt$$
2.自相关函数的定义

能量信号的自相关函数：
$$R_f(\tau )=f(\tau )\ast f^{\ast }(-\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t+\tau )f^{\ast }(t)dt={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)f^{\ast }(t-\tau )dt$$
上述 τ 的正负是不能够随意改变的。

周期信号的自相关函数：
$$R^{12}(\tau )=\frac{1}{T}{\int }_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)f^{\ast }(t-\tau )dt$$
相关函数的性质

1）R₁₂(τ) = R₂₁(-τ) ,互相换函数是偶函数

2）|R₁₂(τ)|≤1 ，互相关函数最大值为1

3）R(τ）= R *(-τ) ，自相关函数是负共轭对称，不是偶函数

4）|R(τ)|≤R(0) ，在时间差为0时，互相关的绝对值一定是最大的

5）能量信号的能量 E=R(0)，功率信号的平均功率 P=R(0)

6）周期信号的自相关函数是周期函数，且周期与信号周期相等

3.相关函数与能量（功率）谱密度的关系

1）能量信号的自相关函数与其能量谱密度互为付立叶变换，即：
$$R(\tau )\iff E(\omega )=|F(\omega ){|}^2$$
2）功率信号的自相关函数与其功率谱密度互为付立叶变换
$$R(\tau )\iff P(\omega )$$
4. 互能量谱密度和互功率谱密度

令 f₁(t)和 f₂(t)为能量信号，且它们的互相关函数为 R₁₂(τ)，称 R₁₂(τ)的付立叶 变换为 f₁(t)和 f₂(t)的互能量谱密度，以 E₁₂(ω)表示之。
$$R_{12}(\tau )\iff E_{12}(\omega )$$

$$R_{12}(\tau )\iff P_{12}(\omega )$$

11. 卷积积分

1.卷积的定义
$$f_1(t{)}^{\ast }{f}_2(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\alpha )f_2(t-\alpha )d\alpha$$
式中α为积分变量，由于定积分值与积分变量符号无关，所以式（2.11.1）中的积分变量可 用任何符号表示，例如：τ，β，λ等。

2.卷积的性质

卷积的三大基础性质：

1.交换律2.分配律3.结合律 这些基础的数学计算性质都是满足的。

卷积的微分性质：
$$\frac{d}{dt}\left[f_1(t)\ast f_2(t)\right]=f_1(t)\ast \frac{d}{dt}{f}_2(t)=\frac{d}{dt}{f}_1(t)\ast f_2(t)$$
卷积的积分性质：
$${\int }_{-\infty }^t\left[f_1(\tau {)}^{\ast }{f}_2(\tau )\right]d\tau =f_1(t)\ast {\int }_{-\infty }^{\tau }{f}_2(\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^t{f}_1(\tau )d{\tau }^{\ast }{f}_2(t)$$
卷积的时移特性：
$$\begin{array}{l}{f}_1(t)\ast f_2(t)=f(t)\\ f_1(t{)}^{\ast }{f}_2\left(t-t_0\right)=f\left(t-t_0\right)\\ f_1\left(t-t_1\right)\ast f_2\left(t-t_1\right)=f\left(t-t_1-t_2\right)\end{array}$$
与特殊函数做卷积：
$$\begin{array}{l}f(t{)}^{\ast }\delta (t)=f(t)\\ f(t)\ast \delta \left(t-t_0\right)=f\left(t-t_0\right)\\ f(t)\ast {\delta }^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)\\ f(t)\ast {\delta }^{(k)}(t)=f^{(k)}(t)\\ f(t)\ast {\delta }^{(k)}\left(t-t_0\right)=f^{(k)}\left(t-t_0\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{l}f(t)\ast u(t)={\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau \\ f[n]\ast \delta [n]=f[n]\\ f[n]\ast \delta [n-m]=f[n-m]\\ f[n]\ast u[n]={\sum }_{n=-\infty }^{n}f[m]\end{array}$$

3.卷积定理

1)时域卷积定理
$$f_1(t)\iff F_1(\omega )f_2(t)\iff F_2(\omega )$$
2) 频域卷积定理
$$f_1(t)f_2(t)\iff \frac{1}{2\pi }\left[f_2(\omega {)}^{\ast }{f}_1(\omega )\right]$$

12. 确定信号通过线性系统（滤波）

通信系统由许多部份组成，例如，天线，放大器，信道和调制解调器等。其中一些部份 可看作是线性系统。例如，信道，放大器，滤波器等。本节研究确定信号通过线性系统。并 限于研究具有一个输入端和一个输出端的系统。

一个输入信号 x(t)，对应有一个确定的输出信号 y(t).将 x(t)变换为 y(t)的运算，数学上称为算 子，以 L 表示。则可表示为： L就是Linear的缩写，即表示线性。

y(t)=L[x(t)]

1.线性算子与线性系统

令：y_i(t)=L[x_i(t)] i=1,2,3……

则称此算子为线性算子，相应的系统称为线性系统，其有被称为叠加原理。 其表述为： 系统输入线性和的响应等于响应的线性和。

对于恒参线性系统而言，有：即输出是输入信号和系统函数的卷积。
$$y(t)={\int }_0^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$$
2.信号不失真的条件

信号通过线性系统会引起变化。从传送信息的角度考虑，重要的是信号波形的变化。我 们认为信号波形大小和时延的变化不影响信号所带的信息，因此我们定义通过线性系统信号 不失真的条件为:

y(t)=kx(t-τ) , 其中：k, τ均为常数，可取任意值(k不会零就好)。

系统的冲激响应：

h(t)= kδ(t-τ)
$$\begin{array}{l}H(\omega )\iff h(t),H(\omega )\iff k\delta (t-\tau )\\ H(\omega )=\int k\delta (t-\tau )e^{-j\omega t}dt=k{e}^{-j\omega \tau }(-\infty <\omega <\infty )\end{array}$$
满足信号不失真条件的系统称作理想系统。由上式可知：理想系统的幅-频特性为 一常数 k 即：

实际系统的特性并不理相，一般只是在一定频率范围内满足，如图：

3.系统的带宽

通常系统的带宽定义为系统的幅-频特性|H（ω）|保持在其频带中心处取值的3 分贝内或半功率点的频率区间，常称为 3 分贝带宽：

由于系统特性 H(ω) 不理想引起的信号失真称为线性失真。线性失真包括频率失真和相位失真。由于系统的幅-频特性不理想引起的信号失真称为频率失真。由于系统的相-频特性不理想引起的信号失真称为相位失真。若信号的带宽位于系统带宽以内，则信号通过系统后的失真可以忽略。

4. 低通滤波器和带通滤波器

若滤波器的通频带位于零频附近至某一频率，则称其为低通滤波器，其特性如图(2.12.5) 所示。若滤波器的通频带位于某一频率附近，且其带宽远小于此频率，则称其为带通滤波器， 其特性如图（2.12.6）所示。

理想低通滤波器的传递函数可表示为：
$$H(\omega )=\mathrm{rect}\left(\frac{\omega }{2W}\right)e^{-j\omega x}$$
冲激响应为：
$$h(t)=\frac{W}{\pi }Sa[W(t-\tau )]$$

13.希尔波特变换

1.希尔伯特变换的定义

令 f(t)为实函数（虚函数没有希尔伯特变换），则下面式子被称为希尔伯特变换：
$$f(\hat{t})=H[f(t)]=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{f(\tau )}{t-\tau }d\tau$$
希尔伯特反变换：
$$H^{-1}[g(t)]=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{g\tau }{t-\tau }d\tau$$
显然希尔伯特变换可记为卷积形式：
$$f^{\prime }(t)=f(t)\ast \frac{1}{\pi t}$$
2.频域的变换
$$H(\omega )=-j\mathrm{Sgn}(\omega )=\{\begin{array}{ll}-j& \omega >0\\ j& \omega <0\end{array}$$
可看出希尔伯特变换等效一个理想相移器，在 ω>0 域相移-π/2，在 ω<0 域相移π/2；

3. 希尔伯特变换的性质

1.希尔伯特正变换后接反变换，相当于没有做任何处理
$$H_1(\omega )H_2(\omega )=[-j\mathrm{Sgn}(\omega )][j\mathrm{Sgn}(\omega )]=1$$
2.两次希尔伯特变换相当于移相180°，即反相
$$H[\hat{f}(t)]=\hat{f}(t)=-f(t)$$
3.正/反希尔伯特滤波器的能量相同
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{f}^2(t)\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{\infty }{\hat{f}}^2(t)\mathrm{d}t$$
4.若 f (t)为偶函数,则 fˆ(t) 为奇函数

5.f (t)与 f^(t) 相互正交
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\hat{f}(t)\mathrm{d}t=0$$

14.解析信号

1.定义：
$$Z(t)=f(t)+j\hat{f}(t)$$
2.解析信号的性质

1. f (t)=Re[Z(t)]

2)本质上这条和1中的方法没有区别，因为对于一个复数求实部本质上就是这种求法
$$f(t)=\frac{1}{2}\left[Z(t)+Z^{\ast }(t)\right]$$
3)解析信号的频域是原信号频域的 ω>0 部分乘以2:
$$Z(\omega )=\{\begin{array}{cc}2F(\omega )& \omega >0\\ 0& \omega <0\end{array}$$
4）解析信号的反傅里叶变换
$$Z(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\infty }2F(\omega )e^{jwt}\mathrm{d}\omega =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }F(\omega )e^{jwt}\mathrm{d}\omega$$
5）解析信号共轭的傅里叶变换
$$F\left[Z^{\ast }(t)\right]=\{\begin{array}{cc}0& \omega >0\\ 2F(\omega )& \omega <0\end{array}$$
6）令 Z₁(t) 和 Z₂(t) 为解析信号，则有:
$$\begin{array}{l}{Z}_1(t)\ast Z_2(t)=0\\ Z_1^{\ast }(t)\ast Z_2(t)=0\end{array}$$
7) 解析信号的能量等于实信号能量的二倍

​ 这因为功率谱虽然只有一半，但是幅度为两倍，总的能量会为2倍。另一方面，由于原信号和希尔伯特变换之后的信号能量是不变的，所以解析信号的能量等于实信号能量的二倍。

一般讲，若复信号的付立叶变换在ω<0 恒为零,则此复信号是解析信号。

3.已知实函数 f (t)求其解析信号的方法**

由时域求：
$$Z(t)=f(t)+j\hat{f}(t)$$
由频域求，反傅里叶变换：
$$Z(\omega )=\{\begin{array}{cc}2F(\omega )& \omega >0\\ 0& \omega <0\end{array}$$

15.频带信号与通信系统

1. 频带信号的定义及表示法

频带信号又称带通信号。若信号的频谱集中在某一频率附近，如下图所示，则称此信 号为频带信号或称带通信号。

若w_c >>2w，则称此频带信号为窄带信号。在无线通信系统中通常满足窄带条件。利用解析信号表示频带信号(特别是窄带信号)很便于对频带信号的分析。

令 f (t)为频带信号，
$$f(t)\iff F(\omega )$$
其解析信号为：
$$Z(t)=f(t)+j\hat{f}(t)\iff Z(\omega )=2F(\omega )u(\omega )$$

复包络：对应着解析信号在频域中向左移动w_c。
$$f(t)=Z(t)e^{-j{\omega }_{0}t}$$

e^jwct被称为复载波。

频带信号的复包络是复基带信号。

我们通过以下方式表示复包络信号：
$$f(t)=f_c(t)+j{f}_s(t)$$
那么就有：f(t)代表原时域信号。
$$f(t)=f_c(t)\cos {\omega }_{c}t-f_s(t)\sin {\omega }_{c}t$$
上式子中 cosω_ct 称作 f (t)的载波;f_c(t)称作同相分量;f_s(t)称作正交分量。

复包络还可以表示为：
$$f(t)=a(t)e^{j\theta (t)}$$
由复包络和包络的关系，以及包络和原信号的关系可憎：
$$f(t)=a(t)\cos \left[{\omega }_{c}t+\theta (t)\right]$$
a(t) 称作 f(t) 的包络；θ(t)称作 f(t)的相位; ω_c 称作 f(t) 的载波角频率。

复包络的两种表达式间有如下关系：
$$\begin{array}{l}{f}_c(t)=a(t)\cos \theta (t)\\ f_s(t)=a(t)\sin \theta (t)\\ a(t)=\sqrt{f^{2}c(t)+f^{2}s(t)}\\ \theta (t)=\mathrm{arctg}\frac{f_s(t)}{f_c(t)}\end{array}$$
复包络包含了 f(t) 的除载波频率以外的全部信息。

2. 带通系统

我们总是希望将一个带通系统通过对基带系统分析的方式进行分析。

1)定义

若系统的通频带位于某一频率附近，即其传递函数如图(2.15.6)所示，则称系统为带通系统.

若带通系统的带宽远小于其中心频率，即 2W<<ω₀ ，则称系统为窄带系统。

2)带通系统的单位冲激响应

已知系统的单位冲激响应与传递函数为付立叶变换对，即 h(t) <=> H(ω) 显然带通系统的单位冲激响应满足频带信号条件，因此它是频带信号。应用解析信号和复包络可以得到带通系统的等效低通特性，将基带信号分析方法用于频带信号通过带通系统的分析，可使分析大为简化。

我们设已知的带通信号是h(t)，那么其解析信号为Z(t)，如下：
$$Z(t)=h(t)+j\hat{h}(t)$$
那么在将Z(ω)向左平移则能得到基带信号。
$$h_L(t)=\frac{1}{2}Z(t)e^{-j{\omega }_{c}t}\iff \frac{1}{2}Z\left(\omega +{\omega }_0\right)=H\left(\omega +{\omega }_0\right)u\left(\omega +{\omega }_0\right)$$

H_L(ω) 称作带通系统的等效低通传递函数。带通系统的等效低通传递函数是低通型的。

3)频带信号通过带通系统分析

$$\begin{array}{l}y(t)=x(t)h_L(t)\\ y(t)=\mathrm{Re}\left[\hat{y}(t)e^{j{\omega }_{0}t}\right]\end{array}$$
复包络和解析信号之间又有如下关系：
$$y(t)=Z(t)e^{-j{\omega }_{0}t}$$