LeetCode 174. 地下城游戏

题目描述

一些恶魔抓住了公主（P）并将她关在了地下城的右下角。地下城是由 M x N 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士（K）最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快到达公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。

 

编写一个函数来计算确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

例如，考虑到如下布局的地下城，如果骑士遵循最佳路径 右 -> 右 -> 下 -> 下，则骑士的初始健康点数至少为 7。

说明:

• 骑士的健康点数没有上限。

• 任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

问题分析

此题是标准动态规划题。需要创建一个二维dp数组。而且dp数组的建立过程是从数组的右下角到数组的左上角，最后返回dp数组左上角的值。dp数组中的每一个元素都代表刚到达当前格子时生命值最低为多少，可以最终到达右下角救出公主。数组的行数为m，列数为n。首先dp[m-1][n-1]等于max(1 - dungeon[m-1][n-1], 1)，然后创建dp数组的最右边一列，再创建dp数组的最下边的一行。接下来从dp[m-2][n-2]开始给dp数组填充元素，状态转移方程是dp[i][j] = max(min(dp[i+1][j], dp[i][j+1]) - dungeon[i][j], 1)，就是说dp[i][j]等于他右边格子的最低所需生命值和下边格子的最低所需生命值中较小的那个值，减去当前格子的dungeon数，就得到刚到该格子时最低所需生命值，但是还要把他和1取较大的那个，这样生命值才不会出现负数才是合理的。如此循环当最终dp数组全部填充完毕后，返回dp[0][0]。

代码实现

class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector>& dungeon) {
        int m = dungeon.size();
        int n = dungeon[0].size();
        vector> dp(m, vector(n, 0));
        dp[m-1][n-1] = max(1 - dungeon[m-1][n-1], 1);
        for(int i = m - 2; i >= 0; i--)
            dp[i][n-1] = max(dp[i+1][n-1] - dungeon[i][n-1], 1);
        for(int i = n - 2; i >= 0; i--)  
            dp[m-1][i] = max(dp[m-1][i+1] - dungeon[m-1][i], 1);
        for(int i = m - 2; i >= 0; i--)
            for(int j = n - 2; j >= 0; j--)
                dp[i][j] = max(min(dp[i+1][j], dp[i][j+1]) - dungeon[i][j], 1);
        return dp[0][0];    
    }
};