[LeetCode] 754. Reach a Number
You are standing at position 0 on an infinite number line. There is a goal at position target.
On each move, you can either go left or right. During the n-th move (starting from 1), you take n steps.
Return the minimum number of steps required to reach the destination.
Example 1:
Input: target = 3
Output: 2
Explanation:
On the first move we step from 0 to 1.
On the second step we step from 1 to 3.
Example 2:
Input: target = 2
Output: 3
Explanation:
On the first move we step from 0 to 1.
On the second move we step from 1 to -1.
On the third move we step from -1 to 2.
Note:
targetwill be a non-zero integer in the range[-10^9, 10^9].
题目：在整数数轴上，求从初始位置为0到目标位置T的最小步数，规定第i步可以向左或向右移动，移动距离为i。
实现思路：参考资料给出的思路很清晰，这里只做一些整理以及说明。
根据题目要求，第i步的实际移动距离可以表示为 di x i，这里 di 表示方向（取值为 ± 1，正值表示向右移动，负值表示向左移动），因此到达目标位置T等价于实现每一步实际移动距离之和为T。如果在第N步抵达目标T，则有 T = d1 x 1 + d2 x 2 + ... + dN x N，看到这个式子很容易联想到等差数列公式（就是所有 di = 1的情况）。
性质1：将上式左右同乘-1，可知 - T = (- d1) x 1 + (- d2) x 2 + ... + (- dN) x N，这就说明到达目标位置T或者-T所用的最小步数是相同的，只需要将到达+T过程中每一步的方向取反即可。根据此对称性，我们考察T为正整数的情况即可。
前面说到T的式子类似等差数列公式（差异只在每一项的符号，di = ±1），因此根据等差数列求和公式，可知 1 + 2 + ... + N = (N + 1) x N / 2 >= T。
性质2.1： 如果等号成立，那么求解关于n的二元一次方程(N + 1) x N / 2 = T 就是答案，即 N = - 1 + 0.5 x (1 + 8T) ^ (1 / 2)，此值需向上取整，这里舍掉一个负根。
如果等号不成立，我们看看“一路无脑向右移动”超过了目标位置多少距离，即 Δ = A - T，这里A = (N + 1) x N / 2。“走超了”说明某一些步骤要调整方向（从+1改为-1），那么假如固定第1到第N-1步的方向不变，只调整第N步（将方向由+1改为-1），则有 B = 1 + 2 + ... + (N - 1) - N。可见，调整方向后，累计距离减少了2N，也就是对我们的“无脑向右”方案修正了2N。对于Δ来说，我们可能需要调整很多步才能满足，因此有 2i + 2j + 2p + 2q + ... = 2 x (i + j + p + q + ...) = Δ，这里i, j, p, q表示调整第i, j, p, q步的方向。这个式子说明当Δ是偶数时，我们只需要在原来“无脑方案”上进行有限的修正并且不改变总步数就能满足要求（题目没有要求我们求出整个行进过程，因此不用纠结具体哪一步调整方向）。这里啰嗦一下，Δ是正整数且i, j, p, q也是正整数，显然一个正整数Δ可以表示为任意正整数之和。
如果Δ为奇数，那么我们只需要“再走几步”让它变成偶数就OK了。现在考虑“无脑向右”多走一步，此时Δ* = Δ + (N + 1)，由于奇数+奇数=偶数、奇数+偶数=奇数的性质，当N为偶数时，Δ*为偶数，根据上面的分析可知第N + 1步能实现目标。当N为奇数时，Δ*为奇数，此时需要再“无脑向右”多走一步，得到Δ** = Δ* + (N + 2)，可知Δ**为偶数，即第N + 2步能实现目标。
整理一下，得到如下性质：
性质2.2： 如果等号不成立，求 Δ = (N + 1) x N / 2 - T。如果Δ为偶数则结果为N， 如果Δ为奇数且N为偶数则结果为N + 1，如果Δ为奇数且N为奇数则结果为N + 2。
在实现时，考虑到8 * N可能会溢出，不能先估算N的值，改为一步一步运算。具体来说，每一步都先“无脑向右”移动，直到累计总和不小于目标值，然后检查Δ，即对于第 k 步如果Δ = 0则返回k，否则应用性质2.2即可。这里注意判断奇偶性的方法，不要用x % 2 == 1判断奇数，因为负奇数与2取余的结果是-1。
class Solution {
public int reachNumber(int target) {
int positive_target = Math.abs(target);
int steps = 0, sum = 0;
while (sum < positive_target) {
steps += 1;
sum += steps;
}
int delta = sum - positive_target;
if (delta == 0 || delta % 2 == 0)
return steps;
return steps % 2 == 0 ? steps + 1 : steps + 2;
}
}参考资料：https://leetcode.com/problems/reach-a-number/discuss/112968/Short-JAVA-Solution-with-Explanation