MATLAB中基于线性变换的线性方程组的矩阵方程求解的实现
MATLAB中基于线性变换的线性方程组的矩阵方程求解的实现
一、矩阵方程
1.定义
2、分类
http://naotu.baidu.com/file/14d36860667d356a54490320cdab2950?token=56a299fe0e0815fe
二、功能实现（M代码）
1、M代码
function d=CDBH_for_sov_JZFC(a,b)
[m1,n1]=size(a);
[m2,n2]=size(b);
c=[a,b];
ra=rank(a); %矩阵a的秩
rb=rank(b); %矩阵b的秩
rc=rank(c); %矩阵[a,b]的秩
zero=zeros(m2,n2); %构造与b规格相同的零矩阵
pj=zero~=b; %确定b中非零元素的个数
pj=sum(pj);
pj=sum(abs(b)); %更新，把判据改为b中所有值的绝对值之和
global i1; %用于阶梯型的计算
global i0; %用于阶梯型的计算，其值为当前列于当前行的差值
global cx; %用于记录阶梯型的首个元素的位置
i1=0;
i0=0;
x_fqc=[]; %非齐次计算中，用于记录阶梯型的首个元素的位置
x_qc=[]; %在齐次计算中，用于记录阶梯型的首个元素的位置
cx=[];
if m1~=m2
error('输入有误，无法计算');
return;
end
switch pj
%这种情况为其次方程组
case 0
switch rc
%这种情况只有零解
case n1
d=zeros(n1,1);
%disp(d);
%这种情况有基础解系
case num2cell([0:n1-1])
%求解思路：
%一.矩阵变换
%1）化为行阶梯型
%2）化为标准型
%二.求基础解系
%1）分别取非线性向量
%2）则线性向量的值为，上述向量对应元素的相反数
%三.输出结果
%一、矩阵变换
for i=1:m1-1; %需要对行数-1行进行行变换
%选中了第i行
%如果都为非线性相关的向量，则阶梯的行列数相等，若存在线性相
%的向量，则需要构造一个i0来表示阶梯对应的列，并用i1表示列于
%行数的差值。
i0=i1+i;
%因为i1的值根据本行元素具体情况确定，因此需要注意，应当在这
%个for循环内完成下三角、化为1、上三角的所有操作。
%Step01 检查阶梯元素是否等于零
% 若等于零，则需要与第一个不为零的行对调，若全为零，
% 则i1+1，并再次循环。
pj_01=0;%初始化以下循环的判据
while pj_01==0 %利用判据pj_01来判断是否需要再次循环，在循环中，通过修改pj的值来跳出循环。
pj_01=1; %没有特殊情况执行完跳出循环
i0=i+i1;
if c(i,i0)==0
%01 找到第i0列，i行及以下第一个非零元素的位置k
k=find(c([i+1:end],i0));
%k=k(1);
%02 将k行与i行对调（若k为空集，应当i1+1并再循环）
if k~=[]; %k不为空集时，将k行与i行对调
k=k(1);
e=c(i,:);
c(i,:)=c(k,:);
c(k,:)=e;
pj_01=1;
elseif isempty(k)==1; %k为空集时，i1+1并再循环
i1=+1;
i0=i1+i;
pj_01=0; %将判据设为0，再次循环
end
end
end
i0=i1+i;
x_qc=[x_qc,i0]; %将此时的列位置进行记录
%Step2 检查阶梯元素是否为1，若不为1，则将其化为1
if c(i,i0)~=0&&c(i,i0)~=0;
c(i,:)=c(i,:)/c(i,i0);
end
%Step3 将i0列，第i行一下的元素消减为0
for j=i+1:m1
if c(j,i0)~=0
c(j,:)=c(j,:)-c(j,i0)*c(i,:);
end
end
%Step4 将i0列，第i行一上的元素消减为0
for j=1:i-1
if c(j,i0)~=0
c(j,:)=c(j,:)-c(j,i0)*c(i,:);
end
end
end
%更新！检查最后一行
if sum(abs(c(m1,[1:n1])))~=0
c(m1,:)=c(m1,:)/c(m1,n1);
for j=1:m1-1
if c(j,n1)~=0
c(j,:)=c(j,:)-c(j,n1)*c(m1,:);
end
end
end
%成功化为标准型
%disp(c)
%二、求基础解系
%依次选定线性相关向量所在列，查找对应非线性相关的元素的值，并将其取负，放入解系矩阵。
%Step1 根据x_qc构造线性相关向量位置向量，构造基础解系矩阵
no_x_qc=ones(1,n1); %初始化与a列咧数相等的1向量
no_x_qc(x_qc)=0; %其中线性无关向量位置设为0
no_x_qc=find(no_x_qc); %找到非零元素位置，命名为no_x_qc
jcjx=zeros(n1,rc); %初始化基础解系（行：A的列，列：C的秩）
%Step2 选定线性相关所在列（使用for循环）
for i=1:length(no_x_qc)
%Step3 查找该列中，线性无关向量对应的元素的值
for j=1:length(x_qc)
Psi=c(j,no_x_qc(i));
%Step4 将查找到的值取负，并放入基础解系的第i列的相应位置
Psi=Psi*-1;
jcjx(x_qc(j),i)=Psi;
end
%Step5 将基础解系中，当前列对应的位置的元素赋值为1
jcjx(no_x_qc(i),i)=1;
end
%disp(jcjx)
%三、输出结果
disp '齐次型，结果为基础解系'
d=jcjx;
disp 'x1'
disp '... = k1*psi1+...+kr*psir'
disp 'xn'
otherwise
error('输入有误，无法计算');
return;
end
%这种话情况为非齐次方程
otherwise
%这种情况无解
if ra2、例子（用于验证）
（1）齐次方程（无限解）：
a=[1,1,-1,-1;2,-5,3,2;7,-7,3,1];
b=[0,0,0]';
结果：
（2）非齐次方程（唯一解）：
a=[89,14,81,19;95,25,24,25;54,84,92,61;13,25,34,47];
b=[436,317,742,353]';
结果：
>>x =
1
2
3
4
（3）非齐次方程（无限解）：
a=[1,-1,-1,1;1,-1,1,-3;1,-1,-2,3];
b=[0,1,-1/2]';
结果：
