RSA数学知识

同余

a≡b(mod m), 如果a mod m 等于 b mod m,则称为 a与b 对 m 同余。数学符号是 "≡"

同余的扩展

  1. 传递性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m);
  2. 同余式相加:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),则a  c≡b d(mod m);
  3. 同余式相乘:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),则ac≡bd(mod m)。

互质

英语称为 be relatively prime. 数学符号为 gcd(a, b) = 1,或者(a, b) = 1,表示a与b互质

a与b除了1之外,没有其他的公约数

a与a不互质,因为a与a有公约数两个: a 和 1

a与b互质则 a的n次方和b的m次方依然互质 pow (a, n)  与 pow ( b, m)互质

a与b互质不能证明a或b为质数。

 

欧拉函数

数学符号φ(n)

φ(n)表示小于或等于n的所有整数中,与n互质的整数的个数.

φ(1) = 1, φ(8) = 4 (1, 3 , 5, 7 )

如果n是质数,则φ(n) = n - 1

 

欧拉函数扩展1

若n是质数p的k次幂,则

因为p的k次方中,只有p的倍数(p,2p,3p..... p的k次方)与  p的k次方   有公约数p,其他数都与p的k次方互质

 

欧拉公式(欧拉定理)

若n,a为正整数,且n,a互质,则:

这个定理的证明太复杂了,跳过

另外还有费马小定理,是欧拉定理的特殊情况,要求n是质数

 

逆模元(模反)

 

两种写法,第二张看上去好理解一点,第一种的-1次方有点误导,毕竟取余运算都是整数运算。

公式成立的充分必要条件是 a 与 n 互质(为什么是充分必要??)。

根据欧拉定理,a与n互质的情况下:

,所以b = a 的 (φ(n) - 1)次方

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